Courses by Nobuyuki TOSE, Year 2023-24

22年度,

SLIN----線型代数学

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Lectures

Lec 22 01/23 3次正方行列の三角化・QR分解・小行列式の性質
Presentation 3次正方行列の三角化とC-Hの定理（三角化だけ） ・ QR分解 ・ 「小行列式と行基本変形」 ・ 「直交補空間（続き）」
キーワード　3次正方行列の三角化・QR分解・小行列式・直交補空間
Lec 21 01/19 固有多項式の座標普遍性・3次正方行列の三角化・2次曲面（退化した場合）・3次正方行列のJordan標準形・QR分解
Presentation 「2次曲面」（退化した場合、Rank(A)=1の場合） ・ 3次正方行列の三角化とC-Hの定理 ・ 「3次正方行列のJordan標準形」（残る場合） ・ QR分解 ・ 「直交補空間（続き）」
キーワード　2次曲面（退化した場合）・3次正方行列の三角化・C-Hの定理・線型写像の行列と固有多項式・直交補空間
Lec 20 01/05 固有多項式の座標普遍性・3次正方行列の三角化・2次曲面（退化した場合）・3次正方行列のJordan標準形
Presentation 「2次曲面」（退化した場合） ・ 3次正方行列の三角化とC-Hの定理 ・ 「3次正方行列のJordan標準形」 ・ 「GSの直交化と直交補空間」
キーワード　2次曲面（退化した場合）・3次正方行列の三角化・C-Hの定理・線型写像の行列と固有多項式
Lec 19 12/22 固有多項式の座標普遍性・3次対称行列の対角化と2次形式（2次形式の正定値性）・3次正方行列の三角化・2次曲面・複素内積
Presentation 「3変数2次形式の正定値性」 ・ 「2次曲面」 ・ 複素ベクトルの内積 ・ 3次正方行列の三角化とC-Hの定理 ・ C-Hの定理（再論）
キーワード対称行列の対角化（2次形式の正定値性）・2次曲面・3次正方行列の三角化・C-Hの定理・線型写像の行列と固有多項式・複素数ベクトルの内積
Lec 18 12/15 固有多項式の座標普遍性・行列式が0の斉次方程式・SO(3)・3次対称行列の対角化と2次形式・3次正方行列の三角下
Presentation 「行列式と正則性・クラメールの公式」（最後のページ） ・ 「3次の回転行列」 ・ 3次実対称行列の対角化」 ・ 3次正方行列の三角化とC-Hの定理
キーワード3次の回転行列・3次正方行列の固有値問題（対称行列の対角化）・3次正方行列の三角化・線型写像の行列と固有多項式
演習 （2020年度のL18） 確認問題 ・ 解答 ・ 追加確認問題 （IV(2),(3)は削除） ・ 解答 問題IV
演習 （2020年度のL17） 確認問題 ・ 解答
Lec 17 12/08 固有多項式の座標普遍性・行列式の性質（逆行列のクラメールの公式など）・対角化可能な3次正方行列
Presentation 逆行列のクラメールの公式 ・ 「行列式と正則性・クラメールの公式」 ・ 3次正方行列の対角化」（続き） ・ 3次実対称行列の対角化」 ・ 「3次の回転行列」 ・ 3次正方行列の三角化とC-Hの定理
キーワード行列式の性質（余因子展開・逆行列のクラメールの公式）・3次正方行列の固有値問題（対角化可能な3次正方行列・対称行列の対角化）・線型写像の行列と固有多項式
演習 （2020年度のL16） 確認問題 ・ 解答（手書き）
Lec 16 12/01 固有多項式の座標普遍性・行列式の性質（余因子分解・クラメールの公式など）・対角化可能な3次正方行列
Presentation 「余因子展開」 ・ 「行列式と正則性・クラメールの公式」 ・ 3次正方行列の対角化」 ・ O(3) ・ 3次実対称行列の対角化」 ・ 3次正方行列の三角化とC-Hの定理
キーワード行列式の性質（余因子展開・クラメールの公式）・3次正方行列の固有値問題（対角化可能な3次正方行列・対称行列の対角化）・線型写像の行列と固有多項式
演習 （2020年度のL14） 演習問題 ・ 解答
演習 （2020年度のL15） 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
Lec 15 11/21 次元定理・固有多項式の座標普遍性・行列式の性質・3次正方行列の固有値問題
Presentation 「次元定理（補足）」（あと少し） ・ 線型写像の固有多項式（ハンドアウト） ・ 「置換の符号（別の定義） ・ 「余因子展開」 ・ 3次元固有値問題 ・ 3次正方行列の対角化」 ・ 3次正方行列の固有値問題（その2）
キーワード 次元定理・行列式の性質（置換の別の定義・余因子展開）・3次正方行列の固有値問題・線型写像の行列と固有多項式
演習（2020年度のL13） 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
Lec 14 11/17 次元定理・固有多項式の座標普遍性・行列式の性質・3次正方行列の固有値問題
Presentation 「次元定理（補足）」 ・ 線型写像の固有多項式（ハンドアウト） ・ 「置換の符号（別の定義） ・ 「余因子展開」 ・ 3次元固有値問題 ・ 3次正方行列の対角化」 ・ 3次正方行列の固有値問題（その2）
キーワード 次元定理・行列式の性質（置換の別の定義・余因子展開）・3次正方行列の固有値問題・線型写像の行列と固有多項式
演習（2020年度のL12） 演習問題 ・ 解答
Lec 13 11/10 部分空間の基底の存在・固有多項式の座標普遍性・行列式の性質
Presentation 「部分空間の次元」 （部分空間の基底の存在から）・ 線型写像の固有多項式（ハンドアウト） ・ 「行列式の定義」 ・ 「置換の符号（別の定義） ・ 「余因子展開」 ・ 3次元固有値問題
キーワード 部分空間の基底の存在・行列式の性質（積の行列式・普遍性）・3次正方行列の固有値問題・線型写像の行列と固有多項式
演習（2020年度のL11） 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
Lec 12 10/27 部分空間の次元・固有多項式の座標普遍性・行列式の定義
Presentation 「部分空間の次元」 （部分空間の基底と次元から）・ 線型写像の固有多項式（ハンドアウト） ・ 「置換の符号」 ・ 「行列式の定義」 ・ 3次元固有値問題
キーワード 部分空間の基底と次元・行列式の定義・3次正方行列の固有値問題・線型写像の行列と固有多項式
演習(2020年度のL10) 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
（参考）第8章「固有値問題入門--3次元の場合」 テキスト(v. ST107_2016/09/19a)
（参考）第9章「回転行列・直交行列・2次形式--3次元の場合」 テキスト(v. ST107_2016/12/09a)
Lec 11 10/20 置換の符号・部分空間の次元・固有多項式の座標普遍性・
Presentation 「順列の符号」（資料2）（ハンドアウト） ・ 「順列の符号」（資料3、一般の場合、ハンドアウト） ・ （参考）「順列の符号」（資料1）（6月に配布済） ・ 「部分空間の次元」 （部分空間の定義と例，続きはL12）・ 線型写像の固有多項式（ハンドアウト，L12で解説）
キーワード 順列の符号・部分空間の定義と例・行列の像と核
演習(2020年度のL09) 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
（参考）「写像」Presentation ・ ビデオ
（参考）「線型独立・線型従属（簡単な場合）」 Presentsation ・ ビデオ（その1 ・ その2）
Lec 10 10/13 行列の正則性・虚数固有値を持つ実2次正方行列・固有多項式の座標普遍性・
Presentation 「虚数固有値を持つ2次正方行列」 ・ 「正則性について」 ・ 線型写像の固有多項式（ハンドアウト,L11で） ・ 「順列の符号」（資料2，途中残りはL11で）（ハンドアウト） ・ （参考）「順列の符号」（資料1）（6月に配布済）
キーワード 虚数固有値を持つ2次正方行列・正則行列の定義と言い換え ・順列の符号
演習（2020年度のL08） 確認問題 ・ 解答(I--Vは問題にリンクあり） VI ・ 演習問題 ・ 解答
Lec 09 10/06 転置行列・2変数の2次式(|A|=0の場合）・Gram行列・固有多項式の座標普遍性
Presentation 「2変数の2次式」（|A|=0の場合：ハンドアウト） ・ 「グラム行列と直交射影」 ・ 線型写像の固有多項式（ハンドアウト，L10で解説） ・ 「行列の積と転置」 ・ 「正則性について」（L10で解説）
キーワード （講義後修正済） 2変数2次式の標準形・グラム行列・直交射影・転置行列とその性質
確認問題（解答は後日）
Lec 08 07/21 転置行列・2次正方行列の固有値問題（Jordan標準形）・2変数の2次式・Gram行列
Presentation 「2次正方行列のJordan標準形」 ・ 「2変数の2次式」 ・ 「グラム行列と直交射影」 ・ 線型写像の固有多項式（ハンドアウト） ・ 「行列の積と転置」 ・ 行列の演算（MSF第5章）
Lec 06 07/18 転置行列・2次正方行列の固有値問題（実対称行列の対角化・Jordan標準形）・C-Hの定理
Presentation 線型写像の固有多項式（ハンドアウト） ・ 「行列の積と転置」 ・ 「ベクトルの内積と応用」（問題II・GSの直交化） ・ 「グラム行列と直交射影」 ・ 行列の演算（MSF第5章） ・ 「2次実対称行列の対角化」（2次形式の符号） ・ 「2次正方行列のJordan標準形」 ・ 「2変数の2次式」
Lec 06 07/14 行列の演算（特に転置行列）・2次正方行列の固有値問題（実対称行列の対角化）・C-Hの定理
Presentation 線型写像の固有多項式（ハンドアウト） ・ 線型写像（ハンドアウト） ・ 2次正方行列のC-Hの定理 （続き・重根の場合・行列の多項式） ・ 転置行列の性質 （ハンドアウト）（行列の積の転置） ・ 「行列の積と転置」 ・ 「ベクトルの内積と応用」（問題II・GSの直交化） ・ 行列の演算（MSF第5章） ・ 「2次実対称行列の対角化」
（参考）ビデオ「極値問題と対称行列の対角化」 (1), (2)
（別系統のテキスト） 「STLIN第6章「固有値問題入門---2次元の場合」 テキスト, 演習問題, 演習問題解答
（別系統のテキスト） 「STLIN第7章「回転行列・直交行列・2次形式---2次元の場合」 テキスト・ 演習問題・ 演習問題解答(2022/03/01修正版）・ 追加問題解答(2021/09/22版）
Lec 05 07/07 行列の演算（特に転置行列）・2次正方行列の固有値問題
Presentation 線型写像の固有多項式（ハンドアウト） ・ 線型写像（ハンドアウト） ・ 2次正方行列のC-Hの定理 ・ 転置行列の性質 （ハンドアウト） ・ 「直交行列」 ・ 「行列の積と転置」 ・ 「ベクトルの内積と応用」 ・ 行列の演算 ・ 「ベクトルの内積と応用」
(2020年度L07)確認問題 ・ 解答
Lec 04 06/30 行列の演算（特に転置行列）・2次正方行列の固有値問題
Presentation 「ノート　線型独立性」 （最後の2ページ） ・ 線型写像（ハンドアウト） ・ 「なぜ対角化（その2）」（微分方程式系） ・ 「2次正方行列の固有値問題」（一般論から） ・ 転置行列の性質 （ハンドアウト） ・ 「直交行列」 ・ 「行列の積と転置」 ・ 「ベクトルの内積と応用」 ・ 行列の演算 ・ 「ベクトルの内積と応用」
演習問題 (2020年度L06) 確認問題 ・ I,II,III解答 ・ IV解答 ・ 演習問題 ・ 解答
Lec 03 06/23 3次正方行列の正則性・行列の演算・2次正方行列の固有値問題
Presentation 3次正方行列の正則性（ハンドアウト、最後のページ） ・ 線型写像 ・ 行列の演算 ・ 「2次正方行列の固有値問題」 ・ 転置行列の性質 （ハンドアウト） ・ 「直交行列」 ・ （06/22に追加） 「行列の積と転置」 ・ （06/22に追加） 「ベクトルの内積と応用」
演習問題（2020年度L05） 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
Lec 02 06/16 2次と3次の行列式・行列の演算
Presentation 「2次正方行列の演算」 ・ 「３次行列式」（その2） （講義後誤植を修正20230617） ・ 逆行列のクラメールの公式 （講義後誤植を修正20230617） ・（参考） 「行列式の定義 (1)—3 次の場合に復習と拡張」 ・ 「2次正方行列の固有値問題」 ・ 「直交行列」
（2020年度L04）確認問題 ・ 解答 前半 ・ 後半 ・ 演習問題 ・ 解答前半 ・ 後半
演習問題 2次元固有値問題の演習 ・ 解答
（参考）STLIN第6章「固有値問題入門---2次元の場合」 テキスト, 演習問題, 演習問題解答
Lec 01 06/09 2次と3次の行列式・行列の演算
Presentation 「2次正方行列の演算」 ・ 「2次行列式」 ・ 「３次行列式」（その1） ・ 「３次行列式」（その2） ・ 逆行列のクラメールの公式 ・（参考） 「行列式の定義 (1)—3 次の場合に復習と拡張」
行列の演算については下の「第5章」を使います．
MSF2019第5章「行列の演算について」 テキスト , 確認問題 ・解答, 演習問題 ・解答, テキスト演習問題 ・ 解答
演習問題 「3次行列式（確認問題）」 ・ 解答 ・ 「3次行列式（演習問題）」 ・ 解答 ・ 掃き出し法演習問題

MSF---Part of Linear Algebra

Lectures

Lec 01 04/07 形式論理，集合，写像
内容 第1章のP1からP9（直積集合の前まで）を解説
第1章「形式論理・集合・写像」
・テキスト(2023年度V01） ・演習問題 （解答はテキスト中にあります）
Lec 02 04/14 形式論理・集合・写像，複素数
内容 第1章のP9の直積集合からP14までを解説，「複素数」についてはハンドアウトを解説．
ハンドアウト「複素数」の内容のビデオ （33分以降に複素数の指数関数・対数関数の話があります）
第2章「複素数と代数学の基本定理」
テキスト ・演習問題（解答はテキストにあります）
Lec 03 04/14 多項式の性質，クラメールの公式，ベクトルの平行
内容 独自テキスト第2章を用いて「多項式」について学びます．次に「平面の方程式」，「クラメールの公式とベクトルの平行」について学びます．
Presentation 平面の方程式 ・クラメールの公式．ベクトルの平行(2020年度V02） ・(04/20に追加）「2次行列式」
・「多項式」については 第2章のテキストをもとに講義します．
第3章 座標空間と数ベクトル
テキスト, 行列式とクラメールの公式の確認問題, 解答, 章末問題・演習問題（ビデオ解説付）（解答はテキストの中にあります）
テキスト「3次行列式」（第3章の補足）, 補足演習問題（第3章・第4章）（解答はテキストの中ににあります）
（04/21に追加）写像の練習問題
Lec 04 04/28 ベクトルの平行・2次元部分空間の基底と座標・2次行列式・2次正方行列
内容　 まず最初に連立方程式の基本変形について学びます（ハンドアウトを用います）．2元連立1次の斉次方程式に非自明解が存在する必要十分条件を係数行列式で表しました（L03）．このことを用いて2本のベクトルが平行・非平行である必要十分条件を行列式を用いて表します．次に、原点を通る2平面の交わりについて考えて、3次元列ベクトルの外積を定義します。続いて平行でない2本のベクトルが定める2次元部分空間を定めて，その座標・座標変換について学びます．さらに，2次行列式の基本的な性質を学び，2次行列の積について学びます．
Presentation 「クラメールの公式．ベクトルの平行」(2020年度V02）（L03から続いて17Pから） ・ 「2 次元部分空間・2 平面の交わり・ベクトル積」 ・ 「2次行列式」
ハンドアウト 「連立方程式の同値変形」 ・ 「掃き出し法入門」
第4章 2次元の座標変換、2次正方行列、2次形式
テキスト, 章末問題・演習問題（ビデオ解説付）, 解答
補足演習問題（第3章・第4章）, 補足問題解答（第4章）
Lec 05 05/19 2次元部分空間の基底と座標・2次行列式・2次正方行列
Presentation 「2 次元部分空間・2 平面の交わり・ベクトル積」（P18の2次行列式から） ・ 「2次元部分空間」（V003） ・ 「2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影」（逆行列まで）
演習問題 演習問題・解答（V002, 05/11修正版）
講義後作成ノートなど 「行列超入門（続編）」 ・ 小テスト解答と補足
追加演習問題 2次正方行列の逆行列, 解答
Lec 06 05/26 2次元部分空間の基底と座標・2次行列式・2次正方行列
Presentation 「2 次元部分空間・2 平面の交わり・ベクトル積」（P18の2次行列式から） ・ 「2次元部分空間」（V003） ・ 「2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影」（回転行列から） ・ 3変数の行列式
演習問題 「3次行列式（確認問題）」 ・ 解答 ・ 「3次行列式（演習問題）」 ・ 解答 ・ 掃き出し法演習問題
Lec 07 05/26 2次元部分空間の基底と座標・2次行列式・2次正方行列・3次行列式
Presentation 「2 次元部分空間・2 平面の交わり・ベクトル積」（P18の2次行列式から） ・ 「2次元部分空間」（V003） ・ 3変数の行列式（その1） ・ 3変数の行列式（その2）c
ハンドアウト ベクトル積