線型代数学確認問題(第15講義, 2020年11月27日）

I

$V,W$が$\mathbf{K}^n$の部分空間とします．$V+W$が 直和ならば $$\begin{equation*} \dim(V\oplus W)=\dim V+\dim W \end{equation*}$$ であることを証明しましょう．

[解答ビデオ]

II

$A\in M_n(\mathbf{R})$が対称とします。

(1) $F$を$n\times \ell$行列とするとき $$B={}^tFAF$$ が対称であることを示しましょう。

(2)$A$が定める2次形式が非負定値とします。すなわち $$(A\vec v,\vec v)\geq 0$$ が成立するとします。このとき$B$が定める2次形式も非負定値となることを示しましょう。

(3)$A$が定める2次形式が正定値とします。また $$F=(\vec f_1\ \cdots \vec f_{\ell})$$ と列ベクトル表示をするとき$\vec f_1,\dots,\vec f_{\ell}$は1次独立とします。このとき$B$が定める2次形式も正定値となることを示しましょう。

[解答ビデオ]

III

$A\in M_{m,n}(\mathbf{R})$とします。すなわち、実$m\times n$行列とします。このとき$\mathbf{R}^n$中で $$\mathrm{ker}({}^tAA)=\mathrm{ker}(A)$$ が成立することを示しましょう。

[解答ビデオ]

IV

(1) $R= \frac 19 \begin{pmatrix} 4&-4&7\\ 8&1&-4\\ 1&8&4 \end{pmatrix}\in SO(3)$ で $$\begin{equation*} \ker(R-I_3)= \mathbf{R} \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} \end{equation*}$$ であることを示せ．

(2) $\vec p_1= \frac 13 \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}$ である $P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$である$P\in SO(3)$ を求めて$P^{-1}RP$を計算しましょう．

[解答ビデオ]

V

$\vec p_1= \frac 13 \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$ である $P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$である$P\in SO(3)$ を求めましょう．

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VI

対称行列 $A= \begin{pmatrix} 0&1&1&-1\\ 1&0&-1&1\\ 1&-1&0&1\\ -1&1&1&0 \end{pmatrix}$を直交行列で対角化して，各固有空間への射影を$A$で表しましょう．

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VII

単位ベクトル $\vec q_1=\frac 1{\sqrt 3} \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$ とします．部分空間$\mathbf{R}\vec q_1$の直交補空間 $$\begin{equation*} V =\left(\mathbf{R}\vec q_1\right)^\perp =\{\vec v\in\mathbf{R}^3;\ (\vec v,\vec q_1)=0\} \end{equation*}$$ に関する鏡映$Q$を $$\begin{equation*} Q\vec x=\vec x+2(P\vec x-\vec x) \end{equation*}$$ によって定義します．ただし，ここで$P$は$V$への直交射影とします．

(1) Qを行列として表しましょう．

(2) $|Q|$を求めましょう．

(3) $Q$を直交行列で対角化しましょう．

[参考ビデオNo.1] ・ [参考ビデオNo.2]

VIII

4次正方行列$X=(\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}\ \vec{d})$とその余因子行列 $\tilde{X}$に対して等式 $$\begin{equation*} \tilde{X}X=\det(X)\cdot I_4 \end{equation*}$$ が成立することを$(3,3)$成分と$(4,2)$成分で確かめましょう．

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IX

4次正方行列 $Y= \left( \begin{smallmatrix} \mathbf{a}\\\mathbf{b}\\\mathbf{c}\\\mathbf{d} \end{smallmatrix} \right)$とその余因子行列 $\tilde{Y}$に対して等式 $$\begin{equation*} Y\tilde{Y}=\det(Y)\cdot I_4 \end{equation*}$$ が成立することを$(2,2)$成分と$(3,4)$成分で確かめましょう．

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X

単位ベクトル $\vec{p}_1= \frac 1{\sqrt{6}} \left( \begin{smallmatrix} 1\\1\\-2 \end{smallmatrix} \right)$ に対して，直交行列 $P=(\vec{p}_1\ \vec{p}_2\ \vec{p}_3)$で$\det(P)=1$を満たすものを1個 求めましょう．次にそれを用いて条件を満たすすべての$P$を表しましょう．

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