線型代数学確認問題(第18講義, 2020年12月18日）
- I
- $P_1,P_2,P_3\in M_n(\mathbf{K})$が
\begin{equation*}
P_1+P_2+P_3=I_n
\end{equation*}
\begin{equation*}
P_iP_j=
\begin{cases}
P_i&(i=j)\\
O_n&(i\not=j)
\end{cases}
\end{equation*}
を満たすとします．このとき
$V_j=\mathrm{Im}(P_j)\ (j=1,2,3)$
が
\begin{equation*}
\mathbf{K}^n=V_1\oplus V_2\oplus V_3
\end{equation*}
を満たすことを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- II
-
$V_j,W_j\ (j=1,\ldots,\ell)$は
$\mathbf{K}^n$の部分空間で
\begin{equation*}
V_j\subset W_j\quad (j=1,\ldots,\ell)
\end{equation*}
を満たすとする．さらに
\begin{equation*}
V_1+\cdots+V_\ell,\quad
W_1+\cdots+W_\ell
\end{equation*}
が直和であるとする．このとき
\begin{equation*}
V_1\oplus\cdots\oplus V_\ell=
W_1\oplus\cdots\oplus W_\ell
\end{equation*}
が成立するならば
\begin{equation*}
V_j=W_j\quad (j=1,\ldots,\ell)
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- III
-
$P\in M_n(\mathbf{K})$が$P^2=P$を満たすとします．
$Q:=I_n-P$とするとき
\begin{equation*}
\mathbf{K}^n=\mathrm{Im}(P)\oplus \mathrm{Im}(Q)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mathrm{Im}(P)=\ker(Q),\quad
\mathrm{Im}(Q)=\ker(P)
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- IV
-
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
9&6&6\\
6&6&0\\
6&0&12
\end{smallmatrix}
\right)$,
$\vec{b}=
\left(
\begin{smallmatrix}
2\\4\\-4
\end{smallmatrix}
\right)$
に対して
\begin{equation*}
\left(
A
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right)
,
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
+
2
\left(
\vec{b},
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right)
\right)+c=0
\end{equation*}
を考えます．直交座標変換と平行移動の座標変換で簡単にしましょう．
- [解答ビデオ]
- V
-
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
4&4&2\\
4&4&2\\
2&2&1
\end{smallmatrix}
\right)$,
$\vec{b}=
\left(
\begin{smallmatrix}
4\\4\\2
\end{smallmatrix}
\right)$
に対して
\begin{equation*}
\left(
A
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right)
,
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
+
2
\left(
\vec{b},
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right)
\right)+c=0
\end{equation*}
を考えます．直交座標変換と平行移動の座標変換で簡単にしましょう．
- [解答ビデオ]
- VI
-
$A,B\in M_n(\mathbf{C})$がエルミートであるとき
\begin{equation*}
AB\text{がエルミート}\Leftrightarrow
AB=BA
\end{equation*}
であることを示しましょう．
- [解答ビデオ]