線型代数学確認問題(第10講義, 2020年10月09日）
- I
- 次の行列式の値を求めよ。
- (1)
$\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
1&3&1&1\\
1&1&3&1\\
1&1&1&3
\end{vmatrix}$
(2)
$\begin{vmatrix}
1&1&1&0&0\\
0&1&1&1&0\\
0&0&1&1&1\\
1&0&0&1&1\\
1&1&0&0&1
\end{vmatrix}$
(3)
$\begin{vmatrix}
2&1&0&0\\
1&2&1&0\\
0&1&2&1\\
0&0&1&2
\end{vmatrix}$
(4)
$\begin{vmatrix}
1&4&6&4&1\\
4&17&27&19&5\\
6&27&46&35&10\\
4&19&35&30&10\\
1&5&10&10&5
\end{vmatrix}$
- [解答ビデオ]
- II
- 次の行列式を計算しましょう。
-
(1)
$\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
a&b&c&d\\
a^2&b^2&c^2&d^2\\
a^3&b^3&c^3&d^3
\end{vmatrix}$
(2)
$\begin{vmatrix}
a&1&1&1\\
1&a&1&1\\
1&1&a&1\\
1&1&1&a
\end{vmatrix}$
- [解答ビデオ](1)・
(2)
- III
-
$n$次正方行列$A=(\vec a_1\ \vec a_2\ \cdots\ \vec a_n)$において
$$
v_1\vec a_1+\cdots+v_n\vec a_n=\vec 0,\quad
v_n\not=0
$$
が成立します。このとき
$$
\det(A)=0
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
次の連立$1$次方程式をクラメールの公式を用いて解きましょ
う。$z$の値だけ答えれば十分です。
$$
\begin{pmatrix}
3&1&1&1\\
2&-1&2&-1\\
2&0&3&1\\
1&0&2&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z\\w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\4\\1\\3
\end{pmatrix}
$$
- [解答ビデオ]
- [参考]$y$について
- V
- 次の行列式を計算しましょう。
-
(1)
$
\begin{vmatrix}
1&3&3&1\\
3&10&11&4\\
3&11&14&6\\
1&4&6&4
\end{vmatrix}
$
(2)
$
\begin{vmatrix}
1&-1&3&0\\
5&2&0&7\\
0&3&-1&2\\
1&1&5&9
\end{vmatrix}
$
(3)
$
\begin{vmatrix}
3&0&5&2&-1\\
1&-1&0&0&3\\
0&3&-2&0&0\\
0&0&1&0&0\\
1&-1&0&0&7
\end{vmatrix}
$
(4)
$
\begin{vmatrix}
x&-1&0&0\\
0&x&-1&0\\
0&0&x&-1\\
a_3&a_2&a_1&x
\end{vmatrix}
$
- [解答ビデオ](1)・
(2)・
(3)・
(4)
- VI
- $A=
\begin{pmatrix}
3&-1&-2\\
-1&3&2\\
-2&2&6
\end{pmatrix}$
を対角化しましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
-
$A=
\begin{pmatrix}
6&-3&-7\\
-1&2&1\\
5&-3&-6
\end{pmatrix}$
に対して以下を示しましょう。
- (1)$\Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-2)$
- (2)$V(-1)\oplus V(1)\oplus V(2)=\mathbf{K}^3$
- (3)各固有空間$V(\alpha)$に対して$\mathbf{K}^3$から$V(\alpha)$への射影を$A$で表しましょう。
- [解答ビデオ(1)]・
[解答ビデオ(2)]・
[解答ビデオ(3)]
- VIII
-
$A=
\begin{pmatrix}
4&4&-2\\
4&4&-2\\
-2&-2&1
\end{pmatrix}$
を対角化しましょう。
- [解答ビデオ]
- IX
- $A=
\begin{pmatrix}
2&1&1\\1&2&1\\1&1&2
\end{pmatrix}$
とします。
- (1) $A$の固有ベクトルを求めましょう。
- (2) $A$のスペクトル分解を求めましょう。すなわち$\mathbf{K}^3$を$A$の固有空間の直和に表しましょう。
- (3) (2) で求めたスペクトル分解において各固有空間への射影を$A$で表しましょう。
- [解答ビデオ]
- X
- ２つの写像
$$
f:\ X\rightarrow Y,\quad g:\ Y\rightarrow Z
$$
があるとします。このとき以下を示しましょう。
- (1) $f$と$g$ともに全射ならば$g\circ f$も全射である。
- (1)' $f$と$g$ともに単射ならば$g\circ f$も単射である。
- (2) $g\circ f$が全射であるならば、$g$も全射である。
- (3) $g\circ f$が単射であるならば、$f$も単射である。
- [解答ビデオ]
（(1),(2),(3)）
- [解答ビデオ]
（(1)'）