STLin 第6章演習問題
- I （演習6.1）
-
$\vec v\in \mathbf{R}^n$が$\vec v\not=\vec 0$を満たすとします．
このとき，$x\vec v=\vec 0$ならば$x=0$が従うことを示しましょう．
- 解答ビデオ
- II （演習6.2）
-
以下の行列$A\in M_2(\mathbf{R})$を対角化しましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&2\\3&-4
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
-4&-2\\3&1
\end{pmatrix}
$
(3)
$
\begin{pmatrix}
1&12\\3&1
\end{pmatrix}
$
(4)
$
\begin{pmatrix}
2&2\\
2&5
\end{pmatrix}
$
(5)
$
\begin{pmatrix}
-1&3\\
3&7
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ(1),
解答ビデオ(1)(2014年版）,
解答ビデオ(1)の補足1（力学系）, 解答ビデオ(1)の補足2（力学系）
- 解答ビデオ(2), 解答ビデオ(2)の補足
- 解答ビデオ(3),
解答ビデオ(3)の解説「なぜ対角化？」,
解答ビデオ(3)の補足（力学系）
- 解答ビデオ(4)
- 解答ビデオ(5)
- IIB （IIの補足）
-
-
次の行列$A\in M_2(\mathbf{R})$を
$P\in M_2(\mathbf{C})$を用いて対角化しましょう．
$
A=
\begin{pmatrix}
3&4\\
-5&-5
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ
- III （演習6.3）
-
-
以下の$2$次正方行列$A\in M_2(\mathbf{R})$に対して，
Cayley-Hamilton の定理を用いて$A^n$を求めましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&2\\3&-4
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
-4&-2\\3&1
\end{pmatrix}
$
(3)
$
\begin{pmatrix}
1&12\\3&1
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ(1)
- 解答ビデオ(2)
- ビデオ解説(3),
解答ビデオ(3)(2018年版）
- IV （演習6.4）
-
以下の$A\in M_2(\mathbf{R})$に対してCayley-Hamiltonの定理を用いて$A^n$
を求めましょう．
(1)
$
A=
\begin{pmatrix}
7&4\\-1&3
\end{pmatrix}
$
(2)
$
A=
\begin{pmatrix}
5&-1\\9&-1
\end{pmatrix}
$
(3)
$
A=
\begin{pmatrix}
3&2\\-2&-1
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ(1)
- 解答ビデオ(2)
- 解答ビデオ(3)
- V （演習6.5）
- 以下の$A\in M_2(\mathbf{R})$に対して$\lambda^n$を$\Phi_A(\lambda)$で割ることによって$A^n$を求めましょう．
(1)
$
A=
\begin{pmatrix}
7&4\\-1&3
\end{pmatrix}
$
(2)
$
A=
\begin{pmatrix}
5&-1\\9&-1
\end{pmatrix}
$
(3)
$
A=
\begin{pmatrix}
3&2\\-2&-1
\end{pmatrix}
$
(4)
$
A=
\begin{pmatrix}
1&-1\\
1&3
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ
(1)・
(2)・
(3)・
(4)
- VI （演習6.6）
-
Vで用いた方法によって2次正方行列の固有多項式が重根を持たない場合に$A^n$を求めてください．すなわち$A$の固有値$\alpha,\ \beta$が$\alpha\not=\beta$を満たすとき
\begin{equation}\label{cayley897a}
A^n=\frac {\beta^n-\alpha^n}{\beta-\alpha}A+
\alpha\beta\frac{\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}}{\beta-\alpha}I_2
\end{equation}
を示してください．
- 解答ビデオ
- VII （演習6.7）
- 以下の行列$A\in M_2(\mathbf{R})$に対して，VIで示し
た方法を用いて$A^n$を求めましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&2\\3&-4
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
-4&-2\\3&1
\end{pmatrix}
$
(3)
$
\begin{pmatrix}
1&12\\3&1
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ
(1)・
(2)・
(3)
- VIII （演習6.8）
- 以下の$A\in M_2(\mathbf{R})$に対してJordan標準形を求めましょう．
(1)
$
A=
\begin{pmatrix}
7&4\\-1&3
\end{pmatrix}
$
(2)
$
A=
\begin{pmatrix}
5&-1\\9&-1
\end{pmatrix}
$
(3)
$
A=
\begin{pmatrix}
3&2\\-2&-1
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ
(1)・
補足1,2・
(2)・
(3)