線型代数学演習問題 第11講 2019/10/18
- I
-
$\vec a\in \mathbf{R}^3$は
$\vec a={}^t(a_1\ a_2\ a_3)\not=\vec 0$を満たすとします。
$\det(I_3+\vec a\cdot {}^t\vec a)$を計算しましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- 座標平面上の$3$点$(x_i,y_i)\ (i=1,2,3)$が同一直線上に
あるための必要十分条件が
$$
\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}=0
$$
であることを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- $$
\frac {b+c}a=\frac {c+13a}b=\frac {a-b}c
$$
が成立します。この式の値を$3$次の行列式を用いて求めましょう。
- [解答ビデオ]（前半）
・（後半）
- IV
-
$A\in M_3(\mathbf{Z})$とします。すなわち$A=(a_{ij})$とするとき
$$
a_{ij}\in \mathbf{Z}
$$
が成立するとします。$A$が正則であると仮定すると
$$
A^{-1}\in M_{3}(\mathbf{Z})\Leftrightarrow
|A|=\pm 1
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- (1)
$$
\begin{vmatrix}
a&b&c\\
c&a&b\\
b&c&a
\end{vmatrix}
=a^3+b^3+c^3-3abc
$$
を示しましょう。
- (2)
$$
(a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz)
=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma
$$
を示しましょう。ただし
$$
\alpha=ax+by+cz,\quad \beta=ay+bz+cx,\quad \gamma=az+bx+cy
$$
とします。
- [解答ビデオ](1)・
(2)
- VI
-
$\mathbf{R}^3$中の部分空間
$$
V_1=\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3;
x-y+z=0\}
$$
$$
V_2=\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3;
x+y+z=0\}
$$
を考えます。$V_1$に関する鏡映を$Q_1$, $V_2$に関する鏡映を$Q_2$として
$$
R=Q_1Q_2
$$
を考えます。
- (1)等式
$$
R\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
=
\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
$$
を示しましょう。
- (2)
$\vec p_1=\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
$を含む$\mathbf{R}^3$の正規直交基底を求めましょう。（以下$\vec p_1, \vec
p_2, \vec p_3$とします。）
- (3)
$P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$として、座
標変換
$$
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=P\begin{pmatrix}\xi\\\eta\\\zeta\end{pmatrix}$$を用いて$R$を表しましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- (1)
$\vec f_1=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
を含む$\mathbf{R}^3$の基底$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3$で
$$
\det(\vec f_1\ \vec f_2\ \vec f_3)=1
$$
を満たすものを求めましょう。
- (2)
$\vec f_1$を軸として$\frac {\pi}3$回転する行
列を求めましょう。すなわち基底$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3$で表現すると
$$
\begin{pmatrix}
1&0&0\\0&\frac 12&-\frac {\sqrt 3}2\\0&\frac {\sqrt 3}2&\frac 12
\end{pmatrix}
$$
となる行列を求めましょう。
- [解答ビデオ]