線型代数演習問題(第12講義, 2020年10月23日）
- I
- $B=
\begin{pmatrix}
2&2&-2\\
1&2&1\\
1&-2&5
\end{pmatrix}$
とします。Cayley-Hamiltonの定理を用いて$B^{-1}$を計算しましょう。
- [解答ビデオ]
- II
-
$B=
\begin{pmatrix}
1&2&-2\\
1&1&1\\
1&-2&4
\end{pmatrix}$とします。
- (1) $A$の固有多項式が
$$
\Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)
$$
であることを示しましょう。
- (2)直和分解
$$
\mathbf{K}^3=V(1)\oplus V(2)\oplus V(3)
$$
において$\vec v\in\mathbf{K}^3$を
$$
\vec v=\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3
$$
と直和分解（スペクトル分解）するとき
$$
f_i(A)\vec v=\vec v_i\quad (i=1,2,3)
$$
となる多項式$f_i(\lambda)\in\mathbf{K}[\lambda]$を求めましょう。
- (3) (2)を用いて$B^n$を$B^2$, $B$, $I_3$で表しましょう。
- [解答ビデオ](1)
・(2)
・(3)
- III
- $a_{n-1}, a_{n-2},\cdots,a_1,a_0\in\mathbf{R}$とします。
$$
f(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0
$$
に対して
$$
f(\alpha)=0\Rightarrow f(\bar{\alpha})=0
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
-
$A=
\begin{pmatrix}
4&0&6\\
3&1&6\\
-3&0&{-5}
\end{pmatrix}$
が対角化可能であることを示して、$\mathbf{K}^3$をスペクトル分解せよ（固有空間の直和で表す）。さらに各固有空間への射影を$A$で表わせ。
- [解答ビデオ]
- V
- $A=
\begin{pmatrix}
9&2&-4\\
-4&3&4\\
2&2&3
\end{pmatrix}$
とします。Cayley-Hamiltonの定理を用いて$A^n$を計算しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- $A\in M_3(\mathbf{C})$が$\det(A)\not=0$を満たします。
$$
\Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha_1)(\lambda-\alpha_2)(\lambda-\alpha_3)
$$
のとき$\Phi_{A^{-1}}(\lambda)$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- $f(\lambda)\in\mathbf{K}[\lambda]$とします。$A\in M_3(\mathbf{K})$があって
$$
\Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha_1)(\lambda-\alpha_2)(\lambda-\alpha_3)
$$
を$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbf{K}$に対して満たします。このとき
$$
\Phi_{f(A)}(\lambda)
$$
を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- VIII
- $f\in \mathbf{K}[\lambda]$,
$p\in \mathbf{K}[\lambda]$が与えられていて$p\not=0$とします。このとき任意の
$f\in\mathbf{K}[\lambda]$に対して
$$
\left\{
\begin{array}[rcl]
&f=&pq+r\\
&\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(p)
\end{array}
\right.
$$
を満たす$q,r\in\mathbf{K}[\lambda]$が存在することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IX
-
$\alpha\not=\beta$とします。
$$
d_1(t)(t-\alpha)+d_2(t)(t-\beta)^2=1
$$
を満たす$d_1(t), d_2(t)\in\mathbf{k}[t]$を求めましょう。
- ヒント
$$
\frac 1{(t-\alpha)(t-\beta)^2}=\frac A{t-\alpha}+\frac {B+Ct}{(t-\beta)^2}
$$
を満たす$A,B,C$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- X
- $\alpha, \beta, \gamma\in\mathbf{C}$は
$
\alpha\not=\beta,\ \beta\not=\gamma,\ \gamma\not=\alpha
$
を満たすとします。
- (1)
$$
d_1(t)(t-\beta)(t-\gamma)+d_2(t)(t-\alpha)(t-\gamma)+
d_3(t)(t-\alpha)(t-\beta)=1
$$
を満たす$d_1(t),d_2(t),d_3(t)\in\mathbf{K}[t]$を求めましょう。
- (2)
$$
d_1(t)(t-\alpha)^2+d_2(t)(t-\beta)^2=1
$$
を満たす$d_1(t),d_2(t)\in\mathbf{K}[t]$を求めましょう。
- [解答ビデオ]