線型代数演習問題(第12講義, 2020年10月23日)

I
$B= \begin{pmatrix} 2&2&-2\\ 1&2&1\\ 1&-2&5 \end{pmatrix}$ とします。Cayley-Hamiltonの定理を用いて$B^{-1}$を計算しましょう。
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II
$B= \begin{pmatrix} 1&2&-2\\ 1&1&1\\ 1&-2&4 \end{pmatrix}$とします。
(1) $A$の固有多項式が $$ \Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3) $$ であることを示しましょう。
(2)直和分解 $$ \mathbf{K}^3=V(1)\oplus V(2)\oplus V(3) $$ において$\vec v\in\mathbf{K}^3$を $$ \vec v=\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3 $$ と直和分解(スペクトル分解)するとき $$ f_i(A)\vec v=\vec v_i\quad (i=1,2,3) $$ となる多項式$f_i(\lambda)\in\mathbf{K}[\lambda]$を求めましょう。
(3) (2)を用いて$B^n$を$B^2$, $B$, $I_3$で表しましょう。
[解答ビデオ](1)(2)(3)
III
$a_{n-1}, a_{n-2},\cdots,a_1,a_0\in\mathbf{R}$とします。 $$ f(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0 $$ に対して $$ f(\alpha)=0\Rightarrow f(\bar{\alpha})=0 $$ が成立することを示しましょう。
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IV
$A= \begin{pmatrix} 4&0&6\\ 3&1&6\\ -3&0&{-5} \end{pmatrix}$ が対角化可能であることを示して、$\mathbf{K}^3$をスペクトル分解せよ(固有空間の直和で表す)。さらに各固有空間への射影を$A$で表わせ。
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V
$A= \begin{pmatrix} 9&2&-4\\ -4&3&4\\ 2&2&3 \end{pmatrix}$ とします。Cayley-Hamiltonの定理を用いて$A^n$を計算しましょう。
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VI
$A\in M_3(\mathbf{C})$が$\det(A)\not=0$を満たします。 $$ \Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha_1)(\lambda-\alpha_2)(\lambda-\alpha_3) $$ のとき$\Phi_{A^{-1}}(\lambda)$を求めましょう。
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VII
$f(\lambda)\in\mathbf{K}[\lambda]$とします。$A\in M_3(\mathbf{K})$があって $$ \Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha_1)(\lambda-\alpha_2)(\lambda-\alpha_3) $$ を$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbf{K}$に対して満たします。このとき $$ \Phi_{f(A)}(\lambda) $$ を求めましょう。
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VIII
$f\in \mathbf{K}[\lambda]$, $p\in \mathbf{K}[\lambda]$が与えられていて$p\not=0$とします。このとき任意の $f\in\mathbf{K}[\lambda]$に対して $$ \left\{ \begin{array}[rcl] &f=&pq+r\\ &\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(p) \end{array} \right. $$ を満たす$q,r\in\mathbf{K}[\lambda]$が存在することを示しましょう。
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IX
$\alpha\not=\beta$とします。 $$ d_1(t)(t-\alpha)+d_2(t)(t-\beta)^2=1 $$ を満たす$d_1(t), d_2(t)\in\mathbf{k}[t]$を求めましょう。
ヒント $$ \frac 1{(t-\alpha)(t-\beta)^2}=\frac A{t-\alpha}+\frac {B+Ct}{(t-\beta)^2} $$ を満たす$A,B,C$を求めましょう。
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X
$\alpha, \beta, \gamma\in\mathbf{C}$は $ \alpha\not=\beta,\ \beta\not=\gamma,\ \gamma\not=\alpha $ を満たすとします。
(1) $$ d_1(t)(t-\beta)(t-\gamma)+d_2(t)(t-\alpha)(t-\gamma)+ d_3(t)(t-\alpha)(t-\beta)=1 $$ を満たす$d_1(t),d_2(t),d_3(t)\in\mathbf{K}[t]$を求めましょう。
(2) $$ d_1(t)(t-\alpha)^2+d_2(t)(t-\beta)^2=1 $$ を満たす$d_1(t),d_2(t)\in\mathbf{K}[t]$を求めましょう。
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