線型代数学確認問題(第16講義, 2020年12月04日）
- I
- 次の等式を満たす$\lambda\in \mathbf{C}$を求めましょう。
(1)
$
\begin{vmatrix}
\lambda&1&0&\lambda\\
0&\lambda&\lambda&1\\
1&\lambda&\lambda&0\\
\lambda&0&1&\lambda
\end{vmatrix}
=0
$
(2)
$
\begin{vmatrix}
\lambda&1&0&0\\
0&\lambda&1&0\\
0&0&\lambda&1\\
1&0&0&\lambda
\end{vmatrix}
=0
$
- [解答ビデオ]
- II
- $A_1\in M_{n_1}(\mathbf{K})$, $A_2\in M_{n_2}(\mathbf{K})$に対して
$$
A=
\begin{pmatrix}
A_1&*\\O&A_2
\end{pmatrix}
\in M_{n_1+n_2}
$$
を定めます。このとき
$$
\Phi_{A}(\lambda)=\Phi_{A_1}(\lambda)\Phi_{A_2}(\lambda)
$$
を示しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
-
$\vec{z}\in\mathbf{C}^n,\vec{w}\in\mathbf{C}^m$に対して
\begin{equation*}
(U\vec{z},\vec{w})= (\vec{z},U^*\vec{w})
\end{equation*}
が成立することを用いて以下を示しましょう．
$U_1\in M_{m,n}(\mathbf{C}),U_2\in M_{m,n}(\mathbf{C}),
T\in M_{n,\ell}(\mathbf{C})$に対して
\begin{equation*}
(U_1+U_2)^*=U_1^*+U_2^*,\quad
(U_1T)^*=T^*U_1^*
\end{equation*}
- [解答ビデオ]
- IV
- $U\in M_n(\mathbf{C})$はunitaryとします。すなわち
$$
U^*U=UU^*=I_n
$$
を満たすとします。このとき
$$
\Phi_U(\alpha)=0\Rightarrow |\alpha|=1
$$
を示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- $T:\mathbf{C}^n\rightarrow \mathbf{C}$が線型とします。すなわち
$$
T(\lambda\vec a+\mu\vec b)=\lambda T(\vec a)+\mu T(\vec b)
$$
を満たすとします。このときある$\vec u\in \mathbf{C}^n$がただ一つ存在して
$$
T(\vec v)=<\vec v,\vec u>\quad (\vec v\in\mathbf{C}^n)
$$
が成立します。
- [解答ビデオ]
- VI
- (1) $U_1,U_2\in M_n(\mathbf{C})$がunitaryであるとき、
$U_1^*$, $U_1U_2$がunitaryとなることを証明しましょう。
- (2) $\vec p_1,\cdots,\vec p_n$が$\mathbf{C}^n$の正規直交基底とします。$\vec q_1,\cdots,\vec q_n$が別の正規直交基底であるとき
$$
(\vec q_1\ \cdots \vec q_n)=(\vec p_1\ \cdots \vec p_n)U
$$
によって$U\in M_n(\mathbf{C})$を定めると$U$がunitaryとなることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- $\vec p_1,\cdots,\vec p_n$が$\mathbf{C}^n$の正規直交基底とします。
- (1) 任意の$\vec u\in\mathbf{C}^n$に対して
$$
\vec u=<\vec u,\vec p_1>\vec p_1+\cdots+<\vec u,\vec p_n>\vec p_n
$$
が成立することを示しましょう。
- (2)
$$
<\sum_{j=1}^n\alpha_j\vec p_j, \sum_{k=1}^n\beta_k\vec p_k>
=\alpha_1\bar{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\bar{\beta_n}
$$
を示しましょう。
- (3)
$\vec u,\vec v\in\mathbf{C}^n$に対して
$$
<\vec u,\vec v>
=<\vec u,\vec p_1>\cdot \overline{<\vec v,\vec p_1>}+\cdots+
<\vec u,\vec p_n>\cdot \overline{<\vec v,\vec p_n>}
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VIII
- $\vec p_1,\cdots,\vec p_\ell\in\mathbf{C}^n$が正規直交系とします。このとき$U\in M_\ell(\mathbf{C})$によって
$$
Q=(\vec q_1\ \cdots\ \vec q_\ell)
=(\vec p_1\ \cdots\ \vec p_\ell)U
$$
を定めます。このとき
$$
\vec q_1,\cdots, \vec q_\ell \text{が正規直交系}
\Leftrightarrow U \text{はunitary}
$$
であることを証明しましょう。
- [解答ビデオ]