線型代数学確認問題(第16講義, 2020年12月04日）

I

次の等式を満たす$\lambda\in \mathbf{C}$を求めましょう。

(1) $\begin{vmatrix} \lambda&1&0&\lambda\\ 0&\lambda&\lambda&1\\ 1&\lambda&\lambda&0\\ \lambda&0&1&\lambda \end{vmatrix} =0$ (2) $\begin{vmatrix} \lambda&1&0&0\\ 0&\lambda&1&0\\ 0&0&\lambda&1\\ 1&0&0&\lambda \end{vmatrix} =0$

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II

$A_1\in M_{n_1}(\mathbf{K})$, $A_2\in M_{n_2}(\mathbf{K})$に対して $$A= \begin{pmatrix} A_1&*\\O&A_2 \end{pmatrix} \in M_{n_1+n_2}$$ を定めます。このとき $$\Phi_{A}(\lambda)=\Phi_{A_1}(\lambda)\Phi_{A_2}(\lambda)$$ を示しましょう。

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III

$\vec{z}\in\mathbf{C}^n,\vec{w}\in\mathbf{C}^m$に対して $$\begin{equation*} (U\vec{z},\vec{w})= (\vec{z},U^*\vec{w}) \end{equation*}$$ が成立することを用いて以下を示しましょう． $U_1\in M_{m,n}(\mathbf{C}),U_2\in M_{m,n}(\mathbf{C}), T\in M_{n,\ell}(\mathbf{C})$に対して $$\begin{equation*} (U_1+U_2)^*=U_1^*+U_2^*,\quad (U_1T)^*=T^*U_1^* \end{equation*}$$

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IV

$U\in M_n(\mathbf{C})$はunitaryとします。すなわち $$U^*U=UU^*=I_n$$ を満たすとします。このとき $$\Phi_U(\alpha)=0\Rightarrow |\alpha|=1$$ を示しましょう。

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V

$T:\mathbf{C}^n\rightarrow \mathbf{C}$が線型とします。すなわち $$T(\lambda\vec a+\mu\vec b)=\lambda T(\vec a)+\mu T(\vec b)$$ を満たすとします。このときある$\vec u\in \mathbf{C}^n$がただ一つ存在して $$T(\vec v)=<\vec v,\vec u>\quad (\vec v\in\mathbf{C}^n)$$ が成立します。

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VI

(1) $U_1,U_2\in M_n(\mathbf{C})$がunitaryであるとき、 $U_1^*$, $U_1U_2$がunitaryとなることを証明しましょう。

(2) $\vec p_1,\cdots,\vec p_n$が$\mathbf{C}^n$の正規直交基底とします。$\vec q_1,\cdots,\vec q_n$が別の正規直交基底であるとき $$(\vec q_1\ \cdots \vec q_n)=(\vec p_1\ \cdots \vec p_n)U$$ によって$U\in M_n(\mathbf{C})$を定めると$U$がunitaryとなることを示しましょう。

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VII

$\vec p_1,\cdots,\vec p_n$が$\mathbf{C}^n$の正規直交基底とします。

(1) 任意の$\vec u\in\mathbf{C}^n$に対して $$\vec u=<\vec u,\vec p_1>\vec p_1+\cdots+<\vec u,\vec p_n>\vec p_n$$ が成立することを示しましょう。

(2) $$<\sum_{j=1}^n\alpha_j\vec p_j, \sum_{k=1}^n\beta_k\vec p_k> =\alpha_1\bar{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\bar{\beta_n}$$ を示しましょう。

(3) $\vec u,\vec v\in\mathbf{C}^n$に対して $$<\vec u,\vec v> =<\vec u,\vec p_1>\cdot \overline{<\vec v,\vec p_1>}+\cdots+ <\vec u,\vec p_n>\cdot \overline{<\vec v,\vec p_n>}$$ が成立することを示しましょう。

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VIII

$\vec p_1,\cdots,\vec p_\ell\in\mathbf{C}^n$が正規直交系とします。このとき$U\in M_\ell(\mathbf{C})$によって $$Q=(\vec q_1\ \cdots\ \vec q_\ell) =(\vec p_1\ \cdots\ \vec p_\ell)U$$ を定めます。このとき $$\vec q_1,\cdots, \vec q_\ell \text{が正規直交系} \Leftrightarrow U \text{はunitary}$$ であることを証明しましょう。

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