線型代数演習問題 3次行列式（確認問題）
- Iレジュメ演習3.2
-
\begin{equation}
\vec a=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},
\vec b=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix},
\vec c=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}
\end{equation}
に対して，以下を求めましょう．
(1)
$\vec a$と$\vec b$が張る平行四辺形の面積．
(2)
$\vec a$と$\vec b$に直交する単位ベクトル．
(3)
$\vec a$と$\vec b$, $\vec c$が張る平行六面体の体積．
- ビデオ解説
- 解答PDF
- IIレジュメ演習3.4
-
以下の補助定理を用いて
\begin{equation}\label{eq:linearity002354}
\left|\
\lambda\vec{\alpha}+\mu\vec{\beta}\quad \vec{b}\quad \vec{c}\
\right|
=\lambda\left|\
\vec{\alpha}\quad \vec{b}\quad \vec{c}\
\right|
+
\mu\left|\
\vec{\beta}\quad \vec{b}\quad \vec{c}\
\right|
\end{equation}
を示しましょう．
-
補助定理
$F:\ \mathbf{R}^3\longrightarrow \mathbf{R}\quad
\vec x\mapsto a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3
$
は
$$
F(\lambda \vec x+\mu \vec y)=\lambda F(\vec x)+\mu F(\vec y)
$$
を満たします．
- IIIレジュメ演習3.5
- 次の行列式の値を求めましょう．
(1)
$
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9
\end{vmatrix}
$
(2)
$
\begin{vmatrix}
2&-1&-3\\
1&1&1\\
4&5&6
\end{vmatrix}
$
(3)
$
\begin{vmatrix}
2&4&6\\
0&2&3\\
1&4&9
\end{vmatrix}
$
(4)
$
\begin{vmatrix}
1&a&a^2\\
1&b&b^2\\
1&c&c^2
\end{vmatrix}
$
- ビデオ解説
- 解答PDF
- IVレジュメ演習3.6
-
$$
\left|
\begin{array}{cc}
a_1&c_1\\
a_2&c_1
\end{array}
\right|
x
+
\left|
\begin{array}{cc}
b_1&c_1\\
b_2&c_2
\end{array}
\right|
y
=
\left|
\begin{array}{cc}
\alpha_1&c_1\\
\alpha_2&c_2
\end{array}
\right|\quad \cdots (\mathrm{I})=(1)\times c_2-(2)\times c_1
$$
$$
\left|
\begin{array}{cc}
a_1&c_1\\
a_3&c_3
\end{array}
\right|
x
+
\left|
\begin{array}{cc}
b_1&c_1\\
b_3&c_3
\end{array}
\right|
y
=
\left|
\begin{array}{cc}
\alpha_1&c_1\\
\alpha_3&c_3
\end{array}
\right|\quad \cdots (\mathrm{II})=(1)\times c_3-(3)\times c_1
$$
$$
\left|
\begin{array}{cc}
a_2&c_2\\
a_3&c_3
\end{array}
\right|
x
+
\left|
\begin{array}{cc}
b_2&c_2\\
b_3&c_3
\end{array}
\right|
y
=
\left|
\begin{array}{cc}
\alpha_2&c_2\\
\alpha_3&c_3
\end{array}
\right|\quad \cdots (\mathrm{III})=(2)\times c_3-(3)\times c_2
$$
において$a_a\times (III)-a_2\times (II)+a_3\times (I)$を計算して，クラメールの公式の$y$の公式を導きましょう．
- ビデオ解説
- 解答PDF
- Vレジュメ演習3.7
-
次の連立$1$次方程式をクラメーの公式を用いて
解きましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
2&-2&4\\
2&3&2\\
-1&1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}$
(2)
$
\begin{pmatrix}
2&1&2\\
0&1&-1\\
2&3&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\1
\end{pmatrix}
$
- ビデオ解説
- 解答PDF
- VI2019小テスト
-
以下の行列式を計算しましょう．
$
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9
\end{vmatrix}
$
- 解答ビデオ
- VII2019小テスト
-
行列式
$
\begin{vmatrix}
1-\lambda&2&-1\\
2&-\lambda&-2\\
-1&-2&1-\lambda
\end{vmatrix}
$
を計算しましょう．解答は因数分解した形にしましょう．
- 解答ビデオ
- 補足問題ビデオ
- VIII2019小テスト
- (1)
$
\begin{vmatrix}
\lambda-3&1&2\\
1&\lambda-3&-2\\
2&-2&\lambda-6
\end{vmatrix}
$
を計算しましょう．
- (2)
(1)の行列式を$0$にする$\lambda\in\mathbf{R}$
に対して
$
\begin{pmatrix}
\lambda-3&1&2\\
1&\lambda-3&-2\\
2&-2&\lambda-6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=\vec{0}
$
を解きましょう．
- 解答ビデオ
- IX2019小テスト
-
行列式
$
\begin{vmatrix}
1&a&a^3\\
1&b&b^3\\
1&c&c^3
\end{vmatrix}
$
を計算しましょう．
- 解答ビデオ
X2019小テスト
-
連立1次方程式
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{ccccccc}
x&+&y&+&z&=&1\\
x&-&y&-&z&=&0\\
2x&+&y&+&3z&=&0\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}
をクラメールの公式で解きましょう．ただし$x$だけで十分です．
- 解答ビデオ
- XI2019小テスト
- 連立$1$次方程式
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{ccccccc}
2x&+&3y&+&4z&=&5 \\
x&+&y&+&z&=&1 \\
10x&+&15y&+&21z&=&28
\end{array}
\right.
\end{equation*}
をクラメールの公式を用いて解きましょう．ただし$y$を与えるだけで十分です．
- 解答ビデオ
- XII2019小テスト
- $3$次正方行列
$A=
\begin{pmatrix}
a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3\\
c_1&c_2&c_3
\end{pmatrix}
$
の余因子行列を$\tilde{A}$とします．$A\tilde{A}$の2行1列が$0$になること
を示しましょう．
- 解答ビデオ
- XIII2019小テスト
- $abc\not=0$とします．
$A=
\begin{pmatrix}
0&a&c\\
a&0&b\\
c&b&0
\end{pmatrix}
$
に対してクラメールの公式を用いて$A^{-1}$を求めましょう．
- 解答ビデオ