線型代数第4講義演習問題（2020年6月24日）
- I
- $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-4\end{pmatrix}$とします。
- (1) $A$を対角化しましょう。
- (2)
微分方程式
$$
\frac d{dt}
\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}
$$
の解を初期値$\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}$で表しましょう。
- 解答ビデオI(1),
解答ビデオI(2), Iの補足
- II
- $A=\begin{pmatrix}-4&-2\\3&1\end{pmatrix}$とします。
- (1) $A$を対角化しましょう。
- (2)
微分方程式
$$
\frac d{dt}
\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}
$$
の解を初期値$\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}$で表しましょう。
- ビデオ解説(1), (2)
- III(IVの準備)
- $A\in M_3(\mathbf{K})$とします。$\alpha,\beta\in\mathbf{K}$が条件
$$
\alpha\not=\beta
$$
を満たすとします。さらに$\vec p,\vec q\in\mathbf{K}^3$が条件
$$
A\vec p=\alpha\vec p, A\vec q=\beta\vec q
$$
$$
\vec p+\vec q=\vec 0
$$
を満たすならば、
$$
\vec p=\vec q=\vec 0
$$
が成立することを証明しましょう。
- 解答ビデオ
- IV
- $A\in M_3(\mathbf{K})$とします。$\alpha,\beta,\gamma\in\mathbf{K}$が条件
$$
\alpha\not=\beta,\ \beta\not=\gamma,\ \gamma\not=\alpha
$$
を満たすとします。さらに$\vec p,\vec q,\vec r\in\mathbf{K}^3$が条件
$$
A\vec p=\alpha\vec p, A\vec q=\beta\vec q, A\vec r=\gamma\vec r
$$
$$
\vec p+\vec q+\vec r=\vec 0
$$
を満たすならば、
$$
\vec p=\vec q=\vec r=\vec 0
$$
が成立することを証明しましょう。
- ビデオ解説
- V
- $P\in M_2(\mathbf{R})$に対して，以下の条件(i), (ii), (iii)が互いに必要十分であることを示しましょう．
(i) ${}^tPP=I_2$,
(ii) $(P\vec v,P\vec w)=(\vec v,\vec w)\quad (\vec v,\vec w\in\mathbf{R}^2$),
(iii) $P=(\vec p_1\ \vec p_2)$とすると$||\vec p_1||=||\vec p_2||=1,\ (\vec p_1,\vec p_2)=0$が成立する．
- 解答ビデオ
- VI
- $P\in M_2(\mathbf{R})$が直交行列とします。すなわち以下の同値な条件(i), (ii), (iii)のいずれかが成立するとします。
(i) ${}^tPP=I_2$,
(ii) $(P\vec v,P\vec w)=(\vec v,\vec w)\quad (\vec v,\vec w\in\mathbf{R}^2$),
(iii) $P=(\vec p_1\ \vec p_2)$とすると$||\vec p_1||=||\vec p_2||=1,\ (\vec p_1,\vec p_2)=0$が成立する。
- (1) $P_1,P_2\in M_2(\mathbf{R})$が直交ならば$P_1P_2$も直交であることを示しましょう。
- (2)$P\in M_2(\mathbf{R})$であるとき${}^tP$も直交となることを示しましょう。
- ビデオ解説
- VII
-
$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\in M_2(\mathbf{R})$
に対して
$$
||A||^2=a_{11}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2
$$
と定めます。
- (1) $\vec x\in\mathbf{R}^2$に対して
$$
||A\vec x||\leq ||A||\cdot ||\vec x||
$$
を示しましょう。
- (2) $A, B\in M_2(\mathbf{R})$に対して
$$
||AB||\leq ||A||\cdot ||B||
$$
を示しましょう。
- ビデオ解説
- VIII
-
$\vec a_1,\vec a_2,\vec c\in\mathbf{R}^n$, $A=(\vec a_1\ \vec a_2)$とします。
-
$\vec v_0\in\mathbf{R}^2$が
$$
||\vec c-A\vec v_0||^2\leq ||\vec c-A\vec v||^2\quad(\vec v\in\mathbf{R}^2)
$$
を満たすとします。このとき
$$
(\vec c-A\vec v_0,A\vec v)=0\quad \quad(\vec v\in\mathbf{R}^2)
$$
が成立することを示しましょう。
- 解答ビデオV
- 解答
- IX
-
$\vec a_1,\vec a_2\in\mathbf{R}^n$, $A=(\vec a_1\ \vec a_2)$とします。
このとき
$$
{}^tAA \mbox{が正則} \Leftrightarrow
\vec a_1\nparallel\vec a_2
$$
であることを示しましょう。
- 解答ビデオVI
- X
- $A$は$m\times n$行列とします。$A\not=O_{m,n}$ならば，ある$\vec x\in \mathbf{K}^n$
に対して
$$
A\vec x\not=\vec 0
$$
が成立することを示しましょう。
- ビデオ解説
- XI
- (1) $ax+by=0$を満たす$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\not=\vec 0$が存在することを示しましょう。
- (2) 連立1次方程式
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
a_1x+a_2y+a_3z&=&0\\
b_1x+b_2y+b_3z&=&0
\end{array}
\right.
$$
を満たす
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\not=\vec 0$が存在することを(1)を用いて示しましょう。
- ビデオ解説
- XII
-
$A=(\vec a_1\ \cdots\ \vec a_n)$,
$B=(\vec b_1\ \cdots\ \vec b_n)$を$m\times n$行列とします。このと
き
$$
A\vec v=B\vec v\quad (\vec v\in\mathbf{K}^n)
$$
ならば$A=B$となることを示しましょう。
- 解答ビデオ
- XIII
-
$\vec a\in\mathbf{R}^n$がすべての$\vec x\in\mathbf{R}^n$に対して垂直，すなわち
$$
(\vec a,\vec x)=0\quad (\vec x\in\mathbf{R}^n)
$$
が成立するとします．このとき$\vec a=\vec 0$となることを示しましょう．
（「線型代数学」教科書13ページ、演習1.19）
- [解答ビデオ]
- XIV
- $A\in M_{m,n}(\mathbf{R})$, $\vec x\in\mathbf{R}^n$,
$\vec y\in\mathbf{R}^m$に対して
$$
(A\vec x,\vec y)=(\vec x,{}^tA\vec y)
$$
が成立することを用いて
$$
{}^t(AB)={}^tB\cdot {}^tA\quad
(A\in M_{m,n}(\mathbf{R}), B\in M_{n,\ell}(\mathbf{R}))
$$
が成立することを証明しましょう．
- [解答ビデオ]
- XV
- $\vec p,\vec q\in\mathbf{R}^n$が
$$
\vec p\perp\vec q,\quad \vec p\not=\vec 0,\quad \vec q\not=\vec 0
$$
が成立するとき
$$
\vec p\nparallel\vec q
$$
が成立することを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- XVI
-
（直交射影の一意性）$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^n$が与えられているとして
$$
L=L(\vec a,\vec b)=
\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}
$$
を考えます．$\vec v_0,\vec w\in\mathbf{R}$が
$$
\vec v_0\in L,\quad \vec c-\vec v_0\perp L
$$
$$
\vec w_0\in L,\quad \vec c-\vec w_0\perp L
$$
が成立するならば$\vec v_0=\vec w_0$が成立することを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- XVII
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\1\\3
\end{pmatrix},\quad
\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\3\\3\\5
\end{pmatrix},\quad
\vec c=
\begin{pmatrix}
1\\4\\6\\9
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．さらに
$$
\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
3\\8\\7\\13
\end{pmatrix},\quad
\vec \beta=
\begin{pmatrix}
2\\7\\9\\14
\end{pmatrix},\quad
\vec \gamma=
\begin{pmatrix}
3\\9\\10\\17
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．
- (1)
$\vec a,\vec b,\vec c$が線型独立で
$$
\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma
\in L=L(\vec a,\vec b,\vec c)
$$
であることを示しましょう．
- (2)
$\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma$が線型独立で，
$L(\vec a,\vec b,\vec c)$の基底となることを示しましょう．
- (3)
$\vec a,\vec b,\vec c$が$L$で定める座標と
$\vec \alpha,\vec \beta,\vec \gamma$が$L$で定める座標を相互に表しましょう．
- 解答ビデオ
- XVIII
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1\\3
\end{pmatrix},\quad
\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\3\\2\\2
\end{pmatrix},\quad
\vec c=
\begin{pmatrix}
2\\7\\3\\3
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．さらに
$$
\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
2\\5\\1\\5
\end{pmatrix},\quad
\vec \beta=
\begin{pmatrix}
1\\5\\4\\0
\end{pmatrix},\quad
\vec \gamma=
\begin{pmatrix}
2\\6\\0\\4
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．Iと同様の問題に答えましょう．
- 解答ビデオ
- XIX
- 掃き出し法を用いて
$$
\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}
$$
の逆行列を求めましょう。
- ビデオ解説
- XX
- 連立1次方程式
$$
\begin{pmatrix}2&-1&-5&5\\1&3&-4&7\\4&-9&-7&1\end{pmatrix}
\vec x=
\begin{pmatrix}c-2\\-c\\3c\end{pmatrix}
$$
に解が存在する$c$を求め、そのときに解を求めましょう。
- ビデオ解説