STLin 第7章演習問題
テキストの問題
- 演習7.1
- 回転行列
\begin{equation*}
R_\theta
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}
\end{equation*}
に対して，次の計算をしましょう．
(1)
$R_{\frac {\pi}2}
\begin{pmatrix}
a\\b
\end{pmatrix}
$
(2)
$R_{-\frac {\pi}2}
\begin{pmatrix}
a\\b
\end{pmatrix}
$
- 解答
- 演習7.2
- (1) テキストの(7.8)式，すなわち
$\vec{a}\in\mathbf{R}^2$に対して
\begin{equation*}\label{equiv0200}
(\vec{a},\vec{y})=0\quad(\vec{y}\in\mathbf{R}^2)
\quad\Longleftrightarrow\quad\vec{a}=\vec{0}
\end{equation*}
を示しましょう．
- (2) テキストの(7.9)式，すなわち
2次正方行列$C\in M_2(\mathbf{R})$に対して
\begin{equation}\label{equiv0201}
C\vec{x}=\vec{0}\quad(\vec{x}\in\mathbf{R}^2)
\quad\Longleftrightarrow
\quad C=O_2
\end{equation}
を示しましょう．
- 解答ビデオ
(1)・
(2)
- 演習7.3
-
$P_1,\ P_2$が直交行列とします．$P_1P_2$が直交行列であることを示しましょ
う．${}^tP_1=P_1^{-1}$も直交行列であることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- 演習7.4
-
$Q=
\begin{pmatrix}
\cos \theta&\sin \theta\\
\sin \theta&-\cos \theta
\end{pmatrix}
$
に対して$Q^2$を考えて$Q^{-1}$を求めましょう．
- 解答ビデオ
- 演習7.5
-
$\vec p=
\begin{pmatrix}
\cos \frac {\alpha}2\\ \sin \frac {\alpha}2
\end{pmatrix}
\in \mathbf{R}^2
$
を考えます．$\vec v\in\mathbf{R}^2$の$\vec p$方向への直交射影を
$$
\vec w=(\vec p,\vec v)\cdot\vec p
$$
と定めます．このとき
$$
\vec q=\vec v-2(\vec v-\vec w)=2\vec w-\vec v
$$
に対して
$$
\vec q=Q\vec v
$$
と$Q\in M_2(\mathbf{R})$を用いて表されることを示しましょう．そして$Q$を求めましょう．
- 解答ビデオ
- 演習7.6
-
(1)
対称行列
$$
A=
\left(
\begin{array}{cc}
2&1\\
1&2
\end{array}
\right)
$$
を直交行列で対角化しましょう．
-
(2) 制約条件$x^2+y^2=1$の下で関数
$$
z=2x^2+2xy+2y^2
$$
の最小値・最大値を求めましょう．
- 解答ビデオ
- 演習7.7
- 以下の対称な$A\in M_2(\mathbf{R})$を回転行列で対角化して，$A$が定める2次形式を回転座標変換で簡単にしましょう．
(1)
$
A=
\begin{pmatrix}
-1&3\\3&7
\end{pmatrix}
$
(2)
$
A=
\begin{pmatrix}
1&4\\4&7
\end{pmatrix}
$
- (1) の解答ビデオ
- (2) の解答ビデオ
- 演習7.8
-
対称行列$A$が定める$2$次形式が正定値であるとします．このとき$A$が正則で
あることを確認して，$A^{-1}$が対称で$A^{-1}$が
定める$2$次形式も正定値であることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- 演習7.9
- 次の2次曲線を座標の平行移動と回転座標変換を用いて簡単にしましょう。
-
解答PDF
- (1) $2x^2-\sqrt{3}xy+y^2+(2\sqrt{3}-4)x+(\sqrt{3}-4)y+(4-\sqrt{3})=0$
- ビデオ解説
- (2) $x^2-4xy+4y^2-8x+6y=0$
- ビデオ解説
- (3) $2x^2+4xy-y^2-20x-8y+32=0$
- ビデオ解説
- (4) $x^2+xy+y^2+x+y=0$
- ビデオ解説
- (5) $x^2-4xy+y^2+2x+4y-5=0$
- ビデオ解説
- (6) $x^2-4xy+4y^2-5y-2=0$
- ビデオ解説
追加問題
- I MSF2018Lec04 II
-
$A=
\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}
$
に対してその転置行列を
${}^tA=
\begin{pmatrix}
a&c\\b&d
\end{pmatrix}
$
によって定義します。
$\vec v, \vec w\in\mathbf{R}^2$に対して
$$
(A\vec v,\vec w)=(\vec v,{}^tA\vec w)
$$
が成立することを示しましょう。
- 解答ビデオ
- II MSF2018Lec04 III
- (1)座標変換
$$
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\xi\\\eta
\end{pmatrix}
$$
によって
$$
z=x^2+xy+y^2-x-2y
$$
を$\xi$, $\eta$で表しましょう。
-
(2) (1)を用いて$z$の最小値を求めましょう。
- 解答ビデオ
- III MSF2018Lec04 IV
-
$$
z=x^2-xy+y^2-2x+3y
$$
に対して，平行移動の座標変換を用いて1次の項のない形にしましょう．
- 解答ビデオ
- IV MSF2018Lec04 VI
-
$$
z=2x^2+4xy-y^2-20x-8y+32
$$
に対して，平行移動の座標変換を用いて1次の項のない形にしましょう．
- 解答ビデオ
- V MSF2018Lec04 VII
- $a>0$, $ab-c^2>0$のとき
$$
ax^2+2cxy+by^2>0\quad
\left(
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
\not=\vec 0
\right)
$$
が成立することを示しましょう．
- 解答ビデオ
- VI emath20180424 VI
-
$
A=
\begin{pmatrix}5-c&2\\2&2-c\end{pmatrix}
$に対して
$$
\left(
A
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\right)>0\quad
\left(
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\not=\vec 0
\right)
$$
を満たす$c\in\mathbf{R}$をすべて求めましょう．
- 解答ビデオ
- VII emath20180508 II
- 関数
$$
z=x^2+xy+y^2-4x+6y
$$
に対して回転座標変換
$$
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
=
\frac 1{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}
$$
を用いて、最小値を求めましょう．
- 解答ビデオ
- VIII emath20180612 VII
-
曲線
$
x^2+3xy+y^2-1=0
$
が回転座標変換
$
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=
\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X\\Y
\end{pmatrix}
$
によっていかなる式で表されるか考えましょう。
- 解答ビデオ
- IX emath20180522 I
- 以下の実対称行列を回転行列で対角化しましょう．さらに
$A$が定める2次形式を回転座標変換で単純にしましょう．
-
(1)
$A=
\begin{pmatrix}
-1&3\\
3&7
\end{pmatrix}$
(2)
$A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
2&1
\end{pmatrix}$
(3)
$A=
\begin{pmatrix}
1&4\\
4&7
\end{pmatrix}$
-
(4)
$A=
\begin{pmatrix}
2&-2\\
-2&-1
\end{pmatrix}$
(5)
$A=
\begin{pmatrix}
3&-3\\
-3&11
\end{pmatrix}$
- (1) の解答ビデオ
- (2) の解答ビデオ
- (3) の解答ビデオ
- (4) の解答ビデオ
- (5) の解答ビデオ