線型代数学演習問題(第15講義, 2020年11月27日）
- I
-
実対称行列
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
1&-1&2\\
-1&4&-1\\
2&-1&1
\end{smallmatrix}
\right)
$
に対して2次曲面
\begin{equation*}
\left(A
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right),
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
=1
\end{equation*}
を考えます．原点からの距離が最小となる曲面上の点を求めましょう．
- 「解答ビデオ」
- II
-
実対称行列
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
4&2&2\\
2&5&1\\
2&1&5
\end{smallmatrix}
\right)
$
に対して2次曲面
\begin{equation*}
\left(A
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right),
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
=1
\end{equation*}
を考えます．原点からの距離が最大となる曲面上の点を求めましょう．
- 「解答ビデオ」
- III
-
実対称行列
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
1&1&3\\
1&5&1\\
3&1&1
\end{smallmatrix}
\right)
$
に対して小行列式
$
\left|
\begin{smallmatrix}
1&3\\
3&1
\end{smallmatrix}
\right|<0
$
であることを用いて，$A$が定める2次形式
\begin{equation*}
\left(A
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right),
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
\end{equation*}
が正定値でも負定値でもないことを示しましょう．
- 「解答ビデオ」
- IV
-
$\vec{a}\not=\vec{0}$を満たす$\vec{a}\in\mathbf{R}^n$に対して
$n$次正方行列$X:=I_n+\vec{a}{}^t\vec{a}$を考えます．
$\det(X)$を求めましょう．
- 「解答ビデオ」
- V
- $V_1,V_2,V_3\subset \mathbf{R}^n$は部分空間とします．
\begin{equation*}
V_i\perp V_j\ (i\not=j)
\end{equation*}
を仮定すると，
\begin{equation*}
V_1+V_2+V_3
\end{equation*}
は直和となることを示しましょう．
- 「解答ビデオ」
- VI
- $V_1,V_2,V_3\subset \mathbf{R}^n$は部分空間とします．
\begin{equation*}
V_1+V_2+V_3
\end{equation*}
が直和ならば
\begin{equation*}
\dim(V_1\oplus V_2\oplus V_3)
=
\dim V_1+\dim V_2+\dim V_3
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- 「解答ビデオ」
- VII
- (1)
$V\subset\mathbf{R}^n$は部分空間とします。
$$
V^\perp=\{\vec w\in\mathbf{R}^n; (\vec v,\vec w)=0\ (\vec v\in V)\}
$$
は$\mathbf{R}^n$の部分空間であることを示しましょう．
- (2)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
V_1\subset V_2
$$
が成立するならば$V_1^\perp\supset V_2^\perp$が成立することを示しましょう。
- (3)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
(V_1+V_2)^\perp\subset V_j^\perp\ (j=1,2)
$$
を示しましょう。
- (4)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
(V_1+V_2)^\perp =V_1^\perp\cap V_2^\perp
$$
であることを示しましょう。
- 解答ビデオ
(1),
(2),
(3),
(4),
- [解答ビデオ]（古いもの）(1)
・(2)
- VIII
- $A$は$\ell\times m$行列、$B$は$m\times n$行列とします。
- (1)
$$
\mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{rank}(A),\quad
\mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{rank}(B)
$$
であることを証明しましょう。
- (2)$AB=O$が成立するならば
$$
\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\leq m
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]