線型代数学演習問題(第14講, 2020年11月06日）
- I
-
$A\in M_n(\mathbf{K})$の余因子行列を$\tilde A$
とします。このとき
$$
|\tilde A|=|A|^{n-1}
$$
を示しましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- 教科書の演習 4.22（新バージョンの第4章では演習4.25）
-
行列
$
\begin{pmatrix}
2&-\lambda-1&2-\lambda\\
1&-2-\lambda&-1\\
4-\lambda&-2-\lambda&4-\lambda
\end{pmatrix}
$
が正則でないための必要十分条件を$\lambda$について求めましょう．
- [解答ビデオ]
- III
- 教科書の演習 4.23
（新バージョンの第4章では演習4.26）
-
行列
$
\begin{pmatrix}
a&1&1\\
1&a&1\\
1&1&a
\end{pmatrix}
$
の階数を$a$について場合分けをして求めましょう．
- [解答ビデオ]
- IV
- 正方行列$A\in M_{2n-1}(\mathbf{K})$は交代行列とします。すなわち
$$
{}^tA=-A
$$
を満たすとします。このとき
$$
\det(A)=0
$$
であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- 正方行列$A\in M_{n}(\mathbf{R})$は直交行列とします。すなわち
$$
{}^tAA=A{}^tA=I_n
$$
を満たすとします。このとき
$$
\det(A)=\pm 1
$$
であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- 正方行列$A, B\in M_{n}(\mathbf{R})$に対して
$$
\begin{vmatrix}
A&B\\
B&A
\end{vmatrix}
=|A+B|\cdot |A-B|
$$
を示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
-
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
-1&1&2\\
1&-1&2\\
-2&-2&2
\end{smallmatrix}
\right)
$
に対して$\mathrm{tr}(A^5)$を求めましょう．
- [解答ビデオ]
- VIII
-
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
2&1&3\\
1&6&1\\
3&1&2
\end{smallmatrix}
\right)
$
が定める2次形式が，正定値，非負定値，負定値，非正定値であるか考えましょう．
- 解答ビデオ
- IX
-
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
3&2&2\\
2&1&3\\
2&3&1
\end{smallmatrix}
\right)
$
が定める2次形式が，正定値，非負定値，負定値，非正定値であるか考えましょう．
- [解答ビデオ]
- 解答ビデオ
- X
-
- 実対称行列$A\in M_{n}(\mathbf{R})$について以下を考えます．
- $\alpha\in\mathbf{C}$に対して条件
\begin{equation*}
A\vec{v}=\alpha\vec{v},\quad
\vec{v}\not=\vec{0}
\end{equation*}
を満たす複素ベクトル$\vec{v}\in\mathbf{C}^n$が
存在すると仮定します．
- (1)
$\vec{v}=
\left(
\begin{smallmatrix}
v_1\\\vdots\\v_n
\end{smallmatrix}
\right)
$に対して複素共役を
$\vec{w}=
\left(
\begin{smallmatrix}
\bar{v}_1\\\vdots\\\bar{v}_n
\end{smallmatrix}
\right)
$と定めると
\begin{equation}
{}^t\vec{w}A=\bar{\alpha}{}^t\vec{w}
\tag{i}
\end{equation}
が成立することを導きましょう．
- (2)
$(i)$の両辺に右から$\vec{v}$を掛けて$\alpha\in\mathbf{R}$であることを
示しましょう．
- 解答ビデオ
- XI
-
- $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbf{R}$に対して
\begin{equation*}
\alpha+\beta+\gamma\geq 0,\
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\geq 0,\
\alpha\beta\gamma\geq 0
\Rightarrow \alpha,\beta,\gamma\geq 0
\end{equation*}
を示しましょう．
- 解答ビデオ
- XII
-
- 3次の実対称行列
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
a&p&q\\
p&b&r\\
q&r&c
\end{smallmatrix}
\right)
$
が条件
\begin{equation*}
a,b,c\geq 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left|
\begin{smallmatrix}
a&p\\
p&b
\end{smallmatrix}
\right|,\
\left|
\begin{smallmatrix}
a&q\\
q&c
\end{smallmatrix}
\right|,\
\left|
\begin{smallmatrix}
b&r\\
r&c
\end{smallmatrix}
\right|\geq 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
|A|\geq 0
\end{equation*}
を満たすとき
$A$の固有値$\alpha,\beta,\gamma$が
\begin{equation*}
\alpha,\beta,\gamma\geq 0
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- 解答ビデオ
- XIII
-
$A
=
\begin{pmatrix}
0&-2\\
1&2
\end{pmatrix}\in M_2(\mathbf{R})
$
に対して微分方程式系
\begin{equation*}
\frac d{dt}
\begin{pmatrix}
x(t)\\y(t)
\end{pmatrix}
=
A
\begin{pmatrix}
x(t)\\y(t)
\end{pmatrix}
\end{equation*}
を解きましょう．
- 解答ビデオ
- XIV
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&-5\\
1&3
\end{pmatrix}$
を対角化しましょう。
- [解答ビデオ]