MSF2021 L05 05/07 演習問題
資料集の問題
- 資料集89ページ
- 確認8A,8B,8E,8F
- 資料集106ページ
- 確認9E,9D,9F
- 資料集139ページ
- 確認12A,12B,12C,12D,12E,12F
追加問題
- I
$\vec{a},\vec{b}\in\mathbf{R}^n$が条件
$\vec{a}\nparallel\vec{b}$を満たすとします．
- (1)
$\vec{p}=3\vec{a}+\vec{b}$,
$\vec{q}=\vec{a}+\vec{b}$が
$\vec{p}\nparallel\vec{q}$を満たすことを示しましょう．
- (2)
$x\vec{a}+y\vec{b}=s\vec{p}+t\vec{q}$が成立するとき
$s$, $t$を$x$, $y$で表しましょう．
- II
- 以下のベクトルの外積を計算しましょう．
- (1)
$
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
2\\-1\\1
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
1\\2\\1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
3\\1\\1
\end{pmatrix}
$
(3)
$
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}
$
- III
- (1)
$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b\not=\vec 0$であるとき，
$\vec a,\vec b$が作る平行四辺形の面積は
$$||\vec a\times \vec b||$$
であることを示しましょう．また
$$
(\vec a\times \vec b,\vec a)=
(\vec a\times \vec b,\vec b)=0
$$
であることを示しましょう．
（ここでは，3次行列式を使わないで示しましょう．）
- [解答ビデオ]
- (2)
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b,\vec c\not=\vec 0$であるとき，
$\vec a,\vec b,\vec c$が作る平行四面体の体積は
$$|(\vec a\times \vec b,\vec c)|$$
であることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- IV
- $\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．このとき
$$
\vec a\times \vec b=-\vec b\times \vec a,\ \vec a\times \vec a=\vec 0
$$
$$
(\vec a+\vec b)\times \vec c=
\vec a\times \vec c+\vec b\times \vec c
$$
が成立することを示しましょう．（ここでは2次行列式を使うことを想定して
いますが，幾何的に示するのも良い問題です．）
- [解答ビデオ]
- V
-
$\vec{a},\vec{b}\in\mathbf{R}^2$が平行でないとします．
$\vec{a},\vec{b}$が定める平行四辺形の面積を$S$とするとき
\begin{equation*}
S=\left|{|\vec{a}\ \vec{b}|}\right|
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- VI
-
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^n$とします．以下を計算しましょう。
(1)
$(\vec a\ \vec b)
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}$,
(2)
$(\vec a\ \vec b)
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}$,
(3)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix}$,
(4)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
0\\1\\0
\end{pmatrix}$,
(5)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$,
(6)
$(\vec a\ \vec b)
\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}$,
(7)
$(\vec a\ \vec b)
\begin{pmatrix}
0&1\\1&0
\end{pmatrix}$,
(8)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$,
(9)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}$,
(10)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
\lambda&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$,
(11)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&\lambda&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$,
(12)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&\lambda
\end{pmatrix}$,
- VII
-
次の$\vec a, \vec b,\vec\alpha,\vec\beta\in\mathbf{R}^n$に対して
以下の(i),(ii),(iii),(iv)を示しましょう．
(i)$\vec a\nparallel\vec b$を示しましょう．
(ii)
$$
L=\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}
$$
を考えます．
$$
\vec\alpha,\vec\beta\in L
$$
を示しましょう．
(iii) $\vec\alpha\nparallel\vec\beta$を示しましょう．
(iv) $L$の基底$\vec a,\vec b$に関する座標
を$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$,
基底$\vec\alpha,\vec\beta$に関する座標
$\begin{pmatrix}\xi\\\eta\end{pmatrix}$
とするとき
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
を
$\begin{pmatrix}\xi\\\eta\end{pmatrix}$
で表しましょう．
-
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\-1\\4
\end{pmatrix}$,
$\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
2\\-6\\10
\end{pmatrix}$,
$\vec \beta=
\begin{pmatrix}
5\\5\\1
\end{pmatrix}$
- 解説ビデオ
- (2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\3\\-2\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
2\\5\\-2\\3
\end{pmatrix}$,
$\vec \beta=
\begin{pmatrix}
5\\8\\-5\\3
\end{pmatrix}$
- 解説ビデオ
- (3)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
4\\1\\-1\\2
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\3\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
6\\7\\1\\0
\end{pmatrix}$,
$\vec \beta=
\begin{pmatrix}
-1\\8\\4\\-5
\end{pmatrix}$
- 解説ビデオ
- VIII
-
$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^n$が張る部分空間
$$
L=L(\vec a,\vec b)
=\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}
$$
を考えます．
$$
\vec c,\vec d\in L,\lambda,\mu\in\mathbf{R}\quad
\Rightarrow\quad
\lambda\vec c+\mu\vec d\in L
$$
を示しましょう．
- 解説ビデオ
- IX
-
(1) $\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^n$
に対して
$$
{}^t(\vec a+\vec b)={}^t\vec a+{}^t\vec b,\quad
{}^t(\lambda\vec a)=\lambda\cdot {}^t\vec a
$$
を示しましょう．
-
(2)
$\mathbf{a},\mathbf{b}\in\left(\mathbf{R}^n\right)^*$
に対して
$$
{}^t(\mathbf{a}+\mathbf{b})=
{}^t\mathbf{a}+{}^t\mathbf{b},\quad
{}^t(\lambda\mathbf{a})=\lambda\cdot {}^t\mathbf{b}
$$
を示しましょう．
- 解説ビデオ