線型代数学確認問題 第4講 Lec 04 2020/06/24

I

3次の基本行列を分類の上すべて列挙して逆行列を求めましょう．

解説ビデオ

II

次の$\vec a, \vec b,\vec\alpha,\vec\beta\in\mathbf{R}^n$に対して 以下の(i),(ii),(iii),(iv)を示しましょう．
(i)$\vec a\nparallel\vec b$を示しましょう．
(ii) $$L=\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}$$ を考えます． $$\vec\alpha,\vec\beta\in L$$ を示しましょう．
(iii) $\vec\alpha\nparallel\vec\beta$を示しましょう．
(iv) $L$の基底$\vec a,\vec b$に関する座標 を$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, 基底$\vec\alpha,\vec\beta$に関する座標 $\begin{pmatrix}\xi\\\eta\end{pmatrix}$ とするとき $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix}\xi\\\eta\end{pmatrix}$ で表しましょう．

(1) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\-1\\4 \end{pmatrix}$, $\vec \alpha= \begin{pmatrix} 2\\-6\\10 \end{pmatrix}$, $\vec \beta= \begin{pmatrix} 5\\5\\1 \end{pmatrix}$

解説ビデオ

(2) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\2\\-1\\1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\3\\-2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec \alpha= \begin{pmatrix} 2\\5\\-2\\3 \end{pmatrix}$, $\vec \beta= \begin{pmatrix} 5\\8\\-5\\3 \end{pmatrix}$

解説ビデオ

(3) $\vec a= \begin{pmatrix} 4\\1\\-1\\2 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\3\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec \alpha= \begin{pmatrix} 6\\7\\1\\0 \end{pmatrix}$, $\vec \beta= \begin{pmatrix} -1\\8\\4\\-5 \end{pmatrix}$

解説ビデオ

III

次の$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^n$に対して $2$列の行列$X=(\vec a\ \vec b)$を定めます． ${}^tXX$と$\det({}^tXX)$を求めましょう．

(1) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}$, (2) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\-2\\2 \end{pmatrix}$, (3) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\1 \end{pmatrix}$ (4) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1 \end{pmatrix}$

解説ビデオ

IV

3行の行列 $A= \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1\\\mathbf{a}_2\\\mathbf{a}_3 \end{pmatrix}$ に3次正方行列$X$を掛けたとき以下が成立します．$X$を求めましょう．

(1) $XA= \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1\\\mathbf{a}_3\\\mathbf{a}_2 \end{pmatrix}$ (2) $XA= \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1\\\mathbf{a}_2\\\lambda\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_3 \end{pmatrix}$ (3) $XA= \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1\\\lambda\mathbf{a}_2\\\mathbf{a}_3 \end{pmatrix}$ (4) $XA= \begin{pmatrix} \alpha\mathbf{a}_1\\\beta\mathbf{a}_2\\\gamma\mathbf{a}_3 \end{pmatrix}$

解説ビデオ

V

$\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}$が定める2次元部分空間 $$L=L(\vec a,\vec b) =\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}$$ に対して$\vec v\in\mathbf{R}^3$の$L$への直交射影$\vec w$を考えます． $$Q\vec v=\vec w$$ を満たす$3$次正方行列を求めましょう．

解説ビデオ

VI

以下の $\vec a, \vec b, \vec c\in\mathbf{R}^n$に対して $\vec a, \vec b, \vec c$が張る部分空間 $$L_3=L(\vec a,\vec b,\vec c) =\{x\vec a+y\vec b+z\vec c;\ x,y,z\in\mathbf{R}\}$$ の正規直交基底を求めましょう．

(1) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$
(2) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$
(3) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}$
(4) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}$

解説ビデオ (1), (2), (3), (4)

VII

$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^n$が張る部分空間 $$L=L(\vec a,\vec b) =\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}$$ を考えます． $$\vec c,\vec d\in L,\lambda,\mu\in\mathbf{R}\quad \Rightarrow\quad \lambda\vec c+\mu\vec d\in L$$ を示しましょう．

解説ビデオ

VIII

(1) $\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^n$ に対して $${}^t(\vec a+\vec b)={}^t\vec a+{}^t\vec b,\quad {}^t(\lambda\vec a)=\lambda\cdot {}^t\vec a$$ を示しましょう．

(2) $\mathbf{a},\mathbf{b}\in\left(\mathbf{R}^n\right)^*$ に対して $${}^t(\mathbf{a}+\mathbf{b})= {}^t\mathbf{a}+{}^t\mathbf{b},\quad {}^t(\lambda\mathbf{a})=\lambda\cdot {}^t\mathbf{b}$$ を示しましょう．

解説ビデオ

IX(Lec 02, 06/16 III, Lec03, 0623 I)

次の$\vec a,\vec b,\vec c$を用いて $$L=L(\vec a,\vec b) =\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}$$ を考えます．$\vec c$の$L$への直交射影を$X=(\vec a\ \vec b)$のグラム行列 ${}^tXX$を用いて求めましょう．

(1) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$
(2) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$
(3) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}$
(4) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}$

(1)の解答ビデオ

(2)の解答ビデオ

(3)の解答ビデオ

(4)の解答ビデオ

X(Lec 03, 06/23 II)

以下の $\vec a, \vec b, \vec c\in\mathbf{R}^n$に対して $\vec a, \vec b, \vec c$が張る部分空間 $$L_3=L(\vec a,\vec b,\vec c) =\{x\vec a+y\vec b+z\vec c;\ x,y,z\in\mathbf{R}\}$$ の正規直交基底を求めましょう．

(1) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$
(2) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$
(3) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}$
(4) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}$

解説ビデオ (1), (2), (3), (4)

XI

以下の正方行列$A$が正則ならば逆行列を求めましょう．

(1) A= $\begin{pmatrix} 1&1&2&1\\ 2&3&4&1\\ 3&3&3&1\\ 1&2&3&1 \end{pmatrix}$ (2) A= $\begin{pmatrix} 2&-2&4\\ 2&3&2\\ -1&1&-1 \end{pmatrix}$ (3) A= $\begin{pmatrix} -1&2&-3\\ 2&1&0\\ 4&-2&5 \end{pmatrix}$ (4) A= $\begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 0&2&1\\ 5&2&-3 \end{pmatrix}$ (5) A= $\begin{pmatrix} 1&3&4\\ 3&-1&6\\ -1&5&1 \end{pmatrix}$

(1)の解答ビデオ

(2)の解答ビデオ

(3)の解答ビデオ

(4)の解答ビデオ

(5)の解答ビデオ

XII

以下のベクトルが線型独立か線型従属か行列の行基本変形を用いて判定しましょう．

(i) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 7\\-4\\1 \end{pmatrix}$

(ii) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\-3\\2 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 2\\-1\\5 \end{pmatrix}$

(iii) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\-3\\7 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 2\\0\\-6 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 3\\-1\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec d= \begin{pmatrix} 2\\4\\-5 \end{pmatrix}$

(iv) $\vec a= \begin{pmatrix} 2\\-3\\7 \end{pmatrix}$, $\vec b= \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$, $\vec c= \begin{pmatrix} 3\\-1\\-4 \end{pmatrix}$,

(i)の解答ビデオ

(ii)の解答ビデオ

(iii)の解答ビデオ

(iv)の解答ビデオ

XIII

2行3列の狭義の階段行列を分類の上、解空間の基底を求めましょう．

解答ビデオ

XIV

演習5.2 （教科書 132p)

$\vec w= \begin{pmatrix} 2\\0\\c \end{pmatrix}$が$\vec x_1= \begin{pmatrix} 4\\3\\-1 \end{pmatrix},\ \vec x_2= \begin{pmatrix} 6\\6\\8 \end{pmatrix}$の線型結合となる必要十分条件を求めましょう．

解説ビデオ, 解答PDF

XV

演習5.9 （教科書137p）

次のベクトルの組み合わせが，線型独立か線型従属か判定しましょう．
(1) $\begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 7\\3\\8 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1\\3\\-2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix}$

解説ビデオ, 解答PDF

XVI

演習3.6（教科書69p）

以下の$A_0$に対して斉次方程式$A_0\vec x=\vec 0$を解きましょう． $$\begin{equation*} O_3,\ \begin{pmatrix} 1&\alpha&\beta\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1&\alpha\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&0&\alpha\\ 0&1&\beta\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&\alpha&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \end{equation*}$$

ビデオ解説, 解答PDF

XVII

演習3.7（教科書72p）

次の拡大行列が表す連立$1$次方程式に解が 存在するかについて調べ，解が存在するならば求めましょう．
(1) $\left( \begin{array}{cccc|c} 1&-1&2&1&2\\ 3&2 &0 &1 &1 \\ 4&1&2&2&3 \end{array} \right)$ (2) $\left( \begin{array}{ccc|c} 2&6&0&11\\ 6&20&-6&3\\ 0&6&-18&1 \end{array} \right)$

ビデオ解説, 解答PDF

XVIII

演習3.8（教科書72p）

連立$1$次方程式 $$\left\{ \begin{array}{lcl} 2x+y-z&=&1 \\ x-3y+2z&=&4 \\ 3x-2y+z&=&c \end{array} \right.$$ に解が存在する条件を求めましょう．

ビデオ解説, 解答PDF

XIX

演習3.9（教科書72p）

$A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\4&3&2\\0&2&4 \end{pmatrix}$ とします．$A\vec x=\vec b$に解が存在する条件を求めましょう．

ビデオ解説, 解答PDF

XX

演習4.10（教科書98p）

次の連立$1$次方程式をクラメールの公式を用いて解きましょう．
(1) $\begin{pmatrix} 2&-2&4\\ 2&3&2\\ -1&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 2&1&2\\ 0&1&-1\\ 2&3&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$

ビデオ解説

解答PDF

XXI

クラメールの公式を用いて $$A=\begin{pmatrix}2&1&2\\0&1&-1\\2&3&1\end{pmatrix}$$ の逆行列$A^{-1}$を求めましょう。

解答ビデオ

解答PDF

XXII

$$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&a&3-2a\end{pmatrix}, \vec \beta= \begin{pmatrix}a\\b\\1\end{pmatrix}$$ とします。

(1) $\det(A)$を計算しましょう。

(2) $\det(A)=0$と$\det(A)\not=0$で場合を分けて、連立1次方程式 $$A\vec x=\vec \beta$$ に解が存在する条件を求めましょう。

ビデオ解説

解答PDF