線型代数学確認問題(第17講義, 2020年12月11日）
- I
-
$\mathbf{R}^n$の部分空間$V$に対して
\begin{equation*}
\left(V^\perp\right)^\perp=V
\end{equation*}
が成立することを証明しましょう．
- [解答ビデオ]
- II
-
$A\in M_n(\mathbf{R})$が対称であるとします．$\mathbf{R}^n$
の部分空間$V$が$A$-不変であるとき，すなわち
\begin{equation*}
\vec{v}\in V\Rightarrow A\vec{v}\in V
\end{equation*}
が成立するならば，$V^\perp$も$A$-不変であることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- III
-
(1)
$\alpha,\beta\in\mathbf{K}$,
$\mathbf{a},\mathbf{b}\in\left(\mathbf{K}^n\right)^*$,
$A_0,B_0\in M_n(\mathbf{K})$とします．
\begin{equation*}
A=
\left(
\begin{array}{c|c}
\alpha&\mathbf{a} \\
\hline
\vec{0}&A_0
\end{array}
\right),\quad
B=
\left(
\begin{array}{c|c}
\beta&\mathbf{b} \\
\hline
\vec{0}&B_0
\end{array}
\right)
\end{equation*}
に対して
\begin{equation*}
AB=
\left(
\begin{array}{c|c}
\alpha\beta&* \\
\hline
\vec{0}&A_0B_0
\end{array}
\right)
\end{equation*}
となることを示しましょう．
- (2)
$f(\lambda)\in\mathbf{K}[\lambda]$
に対して
\begin{equation*}
f(A)=
\left(
\begin{array}{c|c}
f(\alpha)&* \\
\hline
\vec{0}&f(A_0)
\end{array}
\right)
\end{equation*}
となることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- [解答ビデオ]「CHの定理への応用」
- ケイリー・ハミルトンの定理の証明への応用(pdf)
- IV
- $A\in M_{m,n}(\mathbf{R})$とします．
- (1)
$\left(\mathrm{Im}(A)\right)^\perp
=\ker({}^tA)$であることを示しましょう．
- (2)
$\mathrm{Im}({}^tA)=\ker(A)^\perp$であることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- V
-
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
2&1&1&1\\
1&2&1&1\\
1&1&2&1\\
1&1&1&2\\
\end{smallmatrix}
\right)
$
を直交行列で対角化しましょう．
- [解答ビデオ]
- VI
-
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
2&0&0&-1\\
0&2&-1&0\\
0&-1&2&0\\
-1&0&0&2\\
\end{smallmatrix}
\right)
$
を直交行列で対角化しましょう．
- [解答ビデオ]
- VII
-
\begin{equation*}
A=
\left(
\begin{smallmatrix}
4&-1&-1\\
-1&4&-1\\
-1&-1&2
\end{smallmatrix}
\right),\
\vec{b}
=
\left(
\begin{smallmatrix}
-1\\-1\\2
\end{smallmatrix}
\right)
\end{equation*}
に対して2次曲面
\begin{equation*}
\left(
A
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right),
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
+
c
\left(
\vec{b},
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
+2=0
\end{equation*}
を考えます．平行移動の座標変換と直交座標変換を用いて，
この2次曲面を簡単に表しましょう．
- [解答ビデオ]
- [補足ビデオ]
- VIII
-
$\mathbf{R}^n$の部分空間$V$の正規直交基底
$\vec{p}_1,\ldots,\vec{p}_\ell$を用いて$V$の直交射影$P$を
\begin{equation*}
P\vec{x}=\sum_{j=1}^\ell(\vec{p}_j,\vec{x})\vec{p}_j
\end{equation*}
を定義しました．
\begin{equation*}
P^2=P,\quad {}^tP=P
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- IX
-
VIIIの状況で$Q=I_n-P$とすると
$Q$が$V^\perp$への直交射影となることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- X
-
$\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_\ell\in \mathbf{K}^n$
が線型独立であるとき
$\vec{a}_{\ell+1},\ldots,\vec{a}_n$が存在して
\begin{equation*}
\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_\ell,\vec{a}_{\ell+1},\ldots,\vec{a}_n
\text{が線型独立となる}
\end{equation*}
- [解答ビデオ]