線型代数学演習問題 第9講　2020/10/02

I

$m\times n$行列$A$があるとします。$P$が$m$次の正方行列、$Q$が$n$次の正則行列であるとき $$ \dim \mathrm{Im}(A)=\dim \mathrm{Im}(PA) $$ $$ \dim \ker(A)=\dim \ker(AQ) $$ が成立することを示しましょう。

ビデオ解説(1), ビデオ解説(2),

II

$V\subset\mathbf{R}^n$は部分空間とします。 $$ V^\perp=\{\vec w\in\mathbf{R}^n; (\vec v,\vec w)=0\ (\vec v\in V)\} $$ は$\mathbf{R}^n$の部分空間です。（$V$の直交補空間と呼びます。）

(1)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$ V_1\subset V_2 $$ が成立するならば$V_1^\perp\supset V_2^\perp$が成立することを示しましょう。

(2)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$ (V_1+V_2)^\perp\subset V_j^\perp\ (j=1,2) $$ を示しましょう。

(3)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$ (V_1+V_2)^\perp =V_1^\perp\cap V_2^\perp $$ であることを示しましょう。

[解答ビデオ]

III

$A$を$m\times n$行列として$A$が定める線型写像を $$ f_A:\ \mathbf{K}^n\rightarrow \mathbf{K}^m\quad \vec v\mapsto A\vec v $$ と表します。

(1)$V$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。このとき $$ AV:=f_A(V)=\{A\vec v\in \mathbf{K}^m; \vec v\in V\} $$ が$\mathbf{K}^m$の部分空間であることを示しましょう。

(2)$W$は$\mathbf{K}^m$の部分空間とします。このとき $$ f^{-1}_A(W)=\{\vec v\in \mathbf{K}^n; A\vec v\in W\} $$ が$\mathbf{K}^n$の部分空間であることを示しましょう。

[解答ビデオ]