線型代数学演習問題 第6講 L06 2020/07/10
- I
- 2次の実対称行列
$A=
\begin{pmatrix}
a&c\\
c&b
\end{pmatrix}\in M_2(\mathbf{R})
$に対して以下の条件(i),(ii),(iii)が必要十分であることを証明しましょう．
-
(i) $A$が定める2次形式が非負定値である．すなわち
\begin{equation*}
(A\vec v,\vec v)\geq 0\quad
(\vec v\in\mathbf{R}^2)
\end{equation*}
-
(ii) $A$の固有値$\alpha,\beta\in \mathbf{R}$が$\alpha,\beta\geq 0$を満たす．
-
(iii) $a,b\geq 0,\ ab-c^2\geq 0$
- ビデオ解説
- II
- $m\times n$行列$A$があるとします。$P$が$m$次の
正則
行列、$Q$が$n$次の正則行列であるとき
$$
\dim \mathrm{Im}(A)=\dim \mathrm{Im}(PA)
$$
$$
\dim \ker(A)=\dim \ker(AQ)
$$
が成立することを示しましょう。
- ビデオ解説(1),
ビデオ解説(2),
- III
-
$V\subset\mathbf{R}^n$は部分空間とします。
$$
V^\perp=\{\vec w\in\mathbf{R}^n; (\vec v,\vec w)=0\ (\vec v\in V)\}
$$
は$\mathbf{R}^n$の部分空間です。（$V$の直交補空間と呼びます。）
- (1)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
V_1\subset V_2
$$
が成立するならば$V_1^\perp\supset V_2^\perp$が成立することを示しましょう。
- (2)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
(V_1+V_2)^\perp\subset V_j^\perp\ (j=1,2)
$$
を示しましょう。
- (3)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
(V_1+V_2)^\perp =V_1^\perp\cap V_2^\perp
$$
であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
- $A$を$m\times n$行列として$A$が定める線型写像を
$$
f_A:\ \mathbf{K}^n\rightarrow \mathbf{K}^m\quad \vec v\mapsto A\vec v
$$
と表します。
- (1)$V$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。このとき
$$
AV:=f_A(V)=\{A\vec v\in \mathbf{K}^m; \vec v\in V\}
$$
が$\mathbf{K}^m$の部分空間であることを示しましょう。
- (2)$W$は$\mathbf{K}^m$の部分空間とします。このとき
$$
f^{-1}_A(W)=\{\vec v\in \mathbf{K}^n; A\vec v\in W\}
$$
が$\mathbf{K}^n$の部分空間であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
-
$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\in M_2(\mathbf{R})$
に対して
$$
||A||^2=a_{11}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2
$$
と定めます。
- (1) $\vec x\in\mathbf{R}^2$に対して
$$
||A\vec x||\leq ||A||\cdot ||\vec x||
$$
を示しましょう。
- (2) $A, B\in M_2(\mathbf{R})$に対して
$$
||AB||\leq ||A||\cdot ||B||
$$
を示しましょう。
- ビデオ解説
- VI (Vの続き）
- (1)
行列の列$A_\ell\in M_2(\mathbf{R})\ (\ell=0,1,2,\dots)$が与えられているとします．$A\in M_2(\mathbf{R})$が列$\{A_\ell\}$の極限であるとは
\begin{equation*}
||A_\ell-A||\rightarrow 0\quad (\ell\rightarrow +\infty)
\end{equation*}
が成立するときです．このとき
\begin{equation*}
A_\ell=
\begin{pmatrix}
a_\ell&b_\ell\\
c_\ell&d_\ell
\end{pmatrix},\quad
A=
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
\end{equation*}
ならば
\begin{equation*}
A_\ell\rightarrow A\ (\ell\rightarrow +\infty)
\Leftrightarrow\
a_\ell\rightarrow a,\
b_\ell\rightarrow b,\
c_\ell\rightarrow c,\
d_\ell\rightarrow d
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- (2)
$B_\ell\in M_2(\mathbf{R})\ (\ell=0,1,2,\dots)$が
\begin{equation*}
\sum_{\ell=0}^{+\infty}||B_\ell||<+\infty
\end{equation*}
が成立するならば
\begin{equation*}
S_\ell=B_0+B_1+\dots+B_\ell
\end{equation*}
が収束することを示しましょう．
- (3)
$A\in M_2(\mathbf{R})$に対して無限和
\begin{equation*}
\sum_{\ell=0}^{+\infty}\frac {t^\ell}{\ell!}A^\ell
\end{equation*}
が収束することを示しましょう．無限和を
$e^{tA}$と記します．
- (4)
$A=
\begin{pmatrix}
a&-b\\
b&a
\end{pmatrix}
$
に対して
$e^{tA}$
を求めましょう．
- 解説ビデオ
(1),
(2),
(3),
(4)