線型代数学確認問題 第5講 2020/07/03
- I
- $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\in \mathbf{R}^n$,
$A=(\vec a_1\ \vec a_2\ \vec a_3)$とします。このとき$\vec v\in\mathbf{R}^3$に対して
$$
{}^tAA\vec v=\vec 0\Leftrightarrow
A\vec v=\vec 0
$$
であることを示しましょう。
- ビデオ解説
- II
- $A$が$m\times n$行列とします。$B={}^tAA$が対称行列であることを示しましょう。
- ビデオ解説
- III
- 演習5.3 （教科書 134p）
-
$\vec x\in\mathbf{R}^n$が$\vec x\not=\vec 0$を満たすとします．
このとき$\vec x$が線型独立であることを示しましょう．
- 解説ビデオ,
解答PDF
- IV
- 演習5.4 （教科書 136p）
-
$\vec x_1,\cdots,\vec x_k\in\mathbf{R}^n$とします．
$P\in M_n(\mathbf{R})$が正則であるとき
$$
\vec x_1,\cdots,\vec x_k\mbox{が線型独立}
\Rightarrow
P\vec x_1,\cdots,P\vec x_k\mbox{が線型独立}
$$
を示しましょう．
- 解説ビデオ,
解答PDF
- V
- 演習5.5 （教科書136p）
-
$\vec x_1,\cdots,\vec x_k\in\mathbf{R}^n$が線型独立
であるとします．また$Q\in M_k(\mathbf{R})$が正則であると
します．
このとき
$$
(\vec x_1\ \cdots\ \vec x_k)Q=(\vec y_1\ \cdots\ \vec y_k)
$$
とすると
$\vec y_1,\cdots,\vec y_k\in\mathbf{R}^n$が
線型独立であることを示しましょう．
- 解説ビデオ,
解答PDF
- VI
- 演習5.6 （教科書136p）
-
\begin{equation*}
\vec x_1,\cdots,\vec x_k\in\mathbf{R}^n
\end{equation*}
が線型独立
であるとします．このとき
\begin{equation*}
\vec x_1,\vec x_1+\vec x_2,\cdots,\vec x_1+\vec x_2+\cdots+
\vec x_k\in\mathbf{R}^n
\end{equation*}
が線型独立であることを示しましょう．
- 解説ビデオ,
解答PDF
- VII
- 演習5.7 （教科書136p）
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&0&2\\
-1&3&1\\
2&-4&0
\end{pmatrix}
$
のとき
$
\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix}
\in\mathrm{Im}(A)$
であるための$a,b,c$に関する条件を求めましょう．
- 解説ビデオ,
解答PDF
- VIII
- 演習5.8 （教科書137p）
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
2&4&3\\
3&1&2\\
1&3&2
\end{pmatrix}
$
に対して$\vec v\in\mathrm{Im}(A)$となる条件を行列によって
$B\vec v=\vec 0$と表しましょう．
- 解説ビデオ,
解答PDF
- IX
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1\\3
\end{pmatrix},\quad
\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\3\\2\\2
\end{pmatrix},\quad
\vec c=
\begin{pmatrix}
2\\7\\3\\3
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．さらに
$$
\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
2\\5\\1\\5
\end{pmatrix},\quad
\vec \beta=
\begin{pmatrix}
1\\5\\4\\0
\end{pmatrix},\quad
\vec \gamma=
\begin{pmatrix}
\mathbf{1}\\-1\\-2\\6
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．
- (1)
$\vec a,\vec b,\vec c$が線型独立で
$$
\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma
\in L=L(\vec a,\vec b,\vec c)
$$
であることを示しましょう．
- (2)
$\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma$が線型独立で，
$L(\vec a,\vec b,\vec c)$の基底となることを示しましょう．
- (3)
$\vec a,\vec b,\vec c$が$L$で定める座標と
$\vec \alpha,\vec \beta,\vec \gamma$が$L$で定める座標を相互に表しましょう．
- 解説ビデオ
- X
- 演習3.2（教科書65p）
-
次の行列を行基本変形を用いて狭義の階段行列にしましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&2&-1&4\\
3&2&0&2\\
0&1&3&2\\
3&3&3&4
\end{pmatrix}
$
(2)
$\begin{pmatrix}
4&7&-14&10\\
2&3&-4&-4\\
1&1&1&6
\end{pmatrix}
$
- ビデオ解説,
解答PDF
- XI
- 演習3.3（教科書66p）
-
(3.4)式，すなわち
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&2&3&4&0\\2&3&4&5&0\\3&5&5&7&0
\end{array}
\right)
\rightarrow\cdots\rightarrow
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&0&0&-1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&1&0
\end{array}
\right)
\end{equation*}
の行基本変形をしてみましょう．
- ビデオ解説,
解答PDF
- XII
- 演習3.4（教科書67p）
-
(3.6)式すなわち
\begin{equation*}%\label{rowechelon020001b}
\begin{pmatrix}
3&2&-1&-2\\
0&2&2&-2\\
1&1&0&-1\\
4&5&1&-5
\end{pmatrix}
\rightarrow\cdots\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&0&-1&0\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0
\end{pmatrix}=B
\end{equation*}
の行基本変形をしましょう．また
(3.7)式において
$
\begin{pmatrix}
1\\-1\\1\\0
\end{pmatrix}
$
と
$
\begin{pmatrix}
0\\1\\0\\1
\end{pmatrix}
$
が平行でないことを示しましょう．
- ビデオ解説,
解答PDF
- XIII
- 演習3.5（教科書67p）
-
以下の行列$A$に対して斉次方程式$A\vec x=\vec 0$を解きましょう．
(1)
$\begin{pmatrix}
1&2&0&1\\
2&1&1&3\\
3&3&1&4
\end{pmatrix}$
(2)
$
\begin{pmatrix}
1&-3&0&2\\
2&-6&2&2\\
4&-12&3&5
\end{pmatrix}
$
- ビデオ解説,
解答PDF
- XIV
- 演習3.12（教科書79p）
-
次の行列の逆行列が存在すれば求めましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&1&2&1\\
2&3&4&1\\
3&3&3&1\\
1&2&3&1
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
2&-2&4\\
2&3&2\\
-1&1&-1
\end{pmatrix}
$
- ビデオ解説,
解答PDF
- XV
- 演習3.13（教科書80p）
-
$\vec x,\ \vec y,\ \vec z,\ \vec a,\ \vec b,\ \vec c\in\mathbf{R}^n$
が関係式
$$
\left\{
\begin{array}{lcl}
\vec x-\vec y+2\vec z&=&\vec a \\
2\vec x+\vec y-\vec z&=&\vec b \\
3\vec x-2\vec y+ \vec z&=&\vec c
\end{array}
\right.
$$
満たしているとします．このとき$\vec x,\ \vec y,\ \vec z$
を$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$で表しましょう．これはある行列の
逆行列を計算して表しましょう．
-
解答PDF,
ビデオ解説