数理科学基礎第2章,演習問題「複素数と多項式」(2022年04月15日)

I
$z,w\in\mathbf{C}$に対して $$ |zw|=|z|\cdot |w| $$ を示しましょう.
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II
(1) $a,b\in\mathbf{R}$が$a,b\geq 0$を満たすとします. $$ a+b=0\Leftrightarrow a=b=0 $$ を示しましょう.
(2) $a_1,\cdots,a_n\in\mathbf{R}$が $$ a_1,\cdots,a_n\geq 0 $$ を満たすとします. $$ a_1+\cdots+a_n=0\Leftrightarrow a_1=\cdots=a_n=0 $$ が成立することを示しましょう.
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III
(1) $z,w\in\mathbf{C}$に対して $$ \overline{z\pm w}=\overline z+\overline w,\quad \overline {zw}=\overline z\cdot \overline w $$ を示しましょう.
(2) $z\in\mathbf{C},\ z\not=0$のとき $$ \overline { \left( \frac 1z \right) }=\frac 1{\overline z} $$ を示しましょう.
(3) $z\in\mathbf{C}$であるとき $$ z\in\mathbf{R}\Leftrightarrow z=\overline z $$ を示しましょう.
(4) 実係数の多項式 $$ f(z)=a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0 $$ を考えます.すなわち上の式において $$ a_0,\cdots,a_n\in\mathbf{R} $$ とします.このとき$\alpha\in\mathbf{C}$に対して $$ f(\alpha)=0\Rightarrow f( \overline\alpha )=0 $$ を示しましょう.
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IV
$P_1(x),P_2(x)\in\mathbf{K}[x]$に対して $$ P_1(x)\cdot P_2(x)=0\Rightarrow P_1(x)=0\ \mbox{または}\ P_2(x)=0 $$ であることを示しましょう.
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V
$z,w\in\mathbf{C}$が$z,w\not=0$を満たしている とします. $$ z=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1),\quad w=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) $$ と極形式で表されるとき $$ zw=r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)) $$ $$ z^{-1}=r_1^{-1}(\cos(-\theta_1)+i\sin(-\theta_1)) $$ となることを示しましょう.
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VI
$$ z=\cos\theta+i\sin\theta\not=1 $$ であるとき $$ z^{\frac 12}=\cos\frac {\theta}2+i\sin \frac {\theta}2 $$ とします.このとき $$ 1+z+\cdots+z^n=\frac {z^{n+1}-1}{z-1} =\frac {z^{n+1}-1}{z^{\frac 12}(z^{\frac 12}-z^{-\frac 12})} $$ であることを用いて $$ \sum_{k=0}^n\cos k\theta,\quad \sum_{k=0}^n\sin k\theta $$ を求めましょう.
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VII
(1) $\alpha\not=\beta$, $\beta\not=\gamma$, $\alpha\not=\gamma$とします.こ のとき $$ g(x)=\frac {(x-\beta)(x-\gamma)}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)} $$ が $$ g(\alpha)=1,\quad g(\beta)=g(\gamma)=0 $$ を満たすことを示しましょう.
(2) (1)において$A,B,C\in \mathbf{C}$とします.$f$が$2$次 多項式で $$ f(\alpha)=A,\ f(\beta)=B,\ f(\gamma)=C $$ ならば $$ f(x)=A\frac {(x-\beta)(x-\gamma)}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)} + B\frac {(x-\alpha)(x-\gamma)}{(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)} + C\frac {(x-\alpha)(x-\beta)}{(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)} $$ となることを示しましょう.
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VIII
$a,b\in\mathbf{R}$とします. $$ f(x)=ax^4-2ax^3+(a+1)x^2-bx-b $$ において $$ f(\frac {1+i\sqrt 3}2)=0 $$ とします.
(1) $a,b$を求めましょう.
(2) $f$の他の根を求めましょう.
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IX
$$ f(x)=x^{2n}+x^n+1 $$ が$x^2+x+1$で割り切れるか調べましょう.
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X
$$ \alpha=\cos \frac {2\pi}n+i\sin \frac {2\pi}n $$ とします.
(1) $z^n-1=0$の解が $1,\alpha,\alpha^2,\cdots,\alpha^{n-1}$であることを示しましょう.
(2) $$ (1-\alpha)(1-\alpha^2)\cdots(1-\alpha^{n-1})=n $$ となることを示しましょう.
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XI
以下の多項式$f(x)$, $g(x)$の最大共通因子を最高次数の係数が$1$として求めましょう. \begin{equation*} f(x)=x^4-2x^3+5x^2-4x+3,\quad g(x)=4x^4-12x^3+15x^2-11x+3 \end{equation*}
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XII
$z^4=8(-1+i\sqrt 3)$を満たす$z\in \mathbf{C}$ をすべて求めましょう.
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XIII
$a,b,c,d\in\mathbf{C}$が$ad-bc\not=0$を満たすとする.$\mathbf{C}$の部分集合 $D$を \begin{equation*} D= \begin{cases} \mathbf{C}&(c=0\text{のとき})\\ \mathbf{C}\setminus\{-\dfrac dc\}&(c\not=0\text{のとき}) \end{cases} \end{equation*} とする.写像 \begin{equation*} f:\ D\rightarrow\mathbf{C}\quad z\mapsto w=f(z)=\frac {az+b}{cz+d} \end{equation*} によって定義する.
(1) $f$が単射であることを示しましょう.
(2) $f(D)$を求めましょう.
(3) 全単射$f:\ D\rightarrow f(D)$の逆写像 $f^{-1}$を求めましょう.
XIV
$\mathbf{C}$の部分集合$D:=\mathbf{C}\setminus \{i\}$上で定義された 写像 \begin{equation*} f:\ D\rightarrow\mathbf{C}\quad z\mapsto w=f(z)=\frac {1-iz}{1+iz} \end{equation*} について考えます.
(1) $f(D)\subset \mathbf{C}\setminus\{-1\}$ であることを示しましょう.
(2) $f(D)=\mathbf{C}\setminus\{-1\}$ であることを示しましょう.
(3) $f$が単射であることを示しましょう.
(4) 全単射$f:\ D\rightarrow f(D)$ の逆写像を求めましょう.
(5) $A=\{z\in D;\ |z-(1+i)|=1\}$に対して $f(A)$を求めましょう.
(6) $f(\mathbf{R})$を求めましょう.
XV
実数列$\{a_n\}_{n=0}^{+\infty}$を 差分方程式 \begin{equation*} a_{n+2}-2a_{n+1}+2a_n=0\quad (n=0,1,2,3,\ldots),\quad a_0=\alpha, a_1=\beta \end{equation*} によって定義します.$a_n$を求めましょう.ただし解が最終的に虚数単位を 含まないものにしましょう.