線型代数第5講義演習問題（2020年7月3日）
- I
- $A$が対称な正則行列とします。このとき$A^{-1}$も対称行列であることを示しましょう。
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- II
-
3次正方行列
$$
A=
\left(
\begin{array}{cc}
\alpha&
\begin{array}{cc}
\beta&\gamma
\end{array}\\
\begin{array}{c}
0\\0
\end{array}
&B
\end{array}
\right)
$$
に対して$A$が正則であるための必要十分条件が
$$
\alpha\not=0\quad\text{かつ}\quad
|B|\not=0
$$
であることを示しましょう（3次の行列式は用いてはいけません）．
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- III
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&a&b\\
&1&c\\
&&1
\end{pmatrix}
$
の逆行列を掃き出し法によって求めましょう．
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- IV
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\3\\2\\1
\end{pmatrix},\quad
\vec b=
\begin{pmatrix}
-3\\-9\\4\\-13
\end{pmatrix},\quad
\vec c=
\begin{pmatrix}
1\\3\\0\\3
\end{pmatrix},\quad
\vec d=
\begin{pmatrix}
2\\6\\-2\\8
\end{pmatrix}
$$
とする．$L(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d)$の基底を一つ求めて，
$\dim L$を求めましょう．
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- V
-
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{K}^n$は線型独立とする．このとき
以下のベクトルが$L(\vec a,\vec b,\vec c)$の基底となることを示しましょう．
- (1)
$\vec a,\vec a+\vec b,\vec a+\vec b+\vec c$
- (2)
$\vec b+\vec c,\vec c+\vec a,\vec a+\vec b$
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- VI
-
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{K}^n$は線型独立とします．
- (1)
$$
\vec \alpha=\vec a+2\vec b+3\vec c,\ \vec\beta=\vec a+\vec b+\vec c,\
\vec\gamma=-\vec a+\vec b+2\vec c
$$
で定める$\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma$
が$L(\vec a,\vec c,\vec d)$の基底となることを示しましょう．
- (2)
$L=L(\vec a,\vec b,\vec c)$とするとき基底$\vec a,\vec b,\vec c$による
$L$の座標を
$
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
$
，
基底$\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma$による
$L$の座標を
$
\begin{pmatrix}
\xi\\\eta\\\zeta
\end{pmatrix}
$
とするとき，双方を他方で表しましょう．
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- VII
-
狭義の階段行列
$$
A_0=
\begin{pmatrix}
0&1&\alpha&0&\beta&0\\
0&0&0&1&\gamma&0\\
0&0&0&0&0&1
\end{pmatrix}
$$
と$3$次の正則行列$P$があって，$PA_0$も狭義の階段行列になるとします．
このとき$PA_0=A_0$が成立することを示しましょう．
（狭義の階段行列を標準形とするときの一意性）
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