数理科学基礎第3章、演習問題(2019年04月19日）
- I
-
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^n$に対して
$$
||\vec a+\vec b+\vec c||^2=
||\vec a||^2+||\vec b||^2+||\vec c||^2
+2(\vec a,\vec b)+2(\vec b,\vec c)+2(\vec a,\vec c)
$$
が成立することを示しましょう．（「線型代数学」教科書13ページ、演習1.17）
- [解答ビデオ]
- II
-
$\vec a\in\mathbf{R}^n$がすべての$\vec x\in\mathbf{R}^n$に対して垂直，すなわち
$$
(\vec a,\vec x)=0\quad (\vec x\in\mathbf{R}^n)
$$
が成立するとします．このとき$\vec a=\vec 0$となることを示しましょう．
（「線型代数学」教科書13ページ、演習1.19）
- [解答ビデオ]
- III
-
$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3\in\mathbf{R}^n$が
$$
(\vec f_i,\vec f_j)=
\left\{
\begin{array}{ll}
1&(i=j)\\0&(i\not=j)
\end{array}
\right.
$$
を満たすとします．
- (1)
$$
||x\vec f_1+y\vec f_2||^2=x^2+y^2
$$
$$
||x\vec f_1+y\vec f_2+z\vec f_3||^2=x^2+y^2+z^2
$$
を示しましょう．
- (2)$\vec g\in\mathbf{R}^n$に対して
$$
||\vec g-x\vec f_1-y\vec f_2||^2=||\vec g||^2+x^2+y^2
-2x(\vec g,\vec f_1)-2y(\vec g,\vec f_2)
$$
が成立することを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- IV
-
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x+y-z=1\\
2x-y+z=-1
\end{array}
\right.
$$
を満たす$(x,y,z)$に対してクラメールの公式を用いて$x,y$を$z$で表しましょう．
- [解答ビデオ]
- V
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-3\\4
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\-1\\-1\\1
\end{pmatrix}
$$
に対して$||\vec a-t\vec b||^2$を最小にする$t$を求めましょう．
- [解答ビデオ]
- VI
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\-1\\-1
\end{pmatrix},\
\vec g=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}
$$
とします．
- (1) $(\vec a,\vec b)=0$であることを示しましょう．
- (2) $||\vec g-x\vec a-y\vec b||^2$を最小にする$x,y$を求めましょう．
- [解答ビデオ]
- VII
- (1)
$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b\not=\vec 0$であるとき，
$\vec a,\vec b$が作る平行四辺形の面積は
$$||\vec a\times \vec b||$$
であることを示しましょう．また
$$
(\vec a\times \vec b,\vec a)=
(\vec a\times \vec b,\vec b)=0
$$
であることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- (2)
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b,\vec c\not=\vec 0$であるとき，
$\vec a,\vec b,\vec c$が作る平行四面体の体積は
$$|(\vec a\times \vec b,\vec c)|$$
であることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- VIII
- $\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．このとき
$$
\vec a\times \vec b=-\vec b\times \vec a,\ \vec a\times \vec a=\vec 0
$$
$$
(\vec a+\vec b)\times \vec c=
\vec a\times \vec c+\vec b\times \vec c
$$
が成立することを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- IX
-
直線$\ell_1$
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x+y+z+1=0\\3x-2y+z+5=0
\end{array}
\right.
$$
直線$\ell_2$
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x-z+1=0\\3x+2y-z+2=0
\end{array}
\right.
$$
があります．原点を通り直線$\ell_1$, $\ell_2$に交わる直線を求めましょう．
- [解答ビデオ]
- X
-
次の$3$点を通る平面の方程式を求めましょう．
- (1) $(0,0,0)$, $(1,2,3)$, $(4,5,6)$
- (2) $(2,0,0)$, $(0,3,0)$, $(0,0,4)$
- (3) (1,2,3), (-1,-1,0), (2,-3,5)
- [解答ビデオ]
- XI
-
$\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix}
\not=\vec 0
$
とします．平面
$$
ax+by+cz+q=0
$$
と点$(x_0,y_0,z_0)$の距離$\delta$は
$$
\delta=
\frac{|ax_0+by_0+cz_0+q|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
$$
となることを示しましょう．
-
[解答ビデオ]
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[解答PDF]