数理科学基礎，追加演習問題(2018年5月25日）
第3章レジュメの演習問題
- レジュメ演習3.2
-
\begin{equation}
\vec a=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},
\vec b=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix},
\vec c=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}
\end{equation}
に対して，以下を求めましょう．
(1)
$\vec a$と$\vec b$が張る平行四辺形の面積．
(2)
$\vec a$と$\vec b$に直交する単位ベクトル．
(3)
$\vec a$と$\vec b$, $\vec c$が張る平行六面体の体積．
- ビデオ解説
- 解答PDF
- レジュメ演習3.3
-
\begin{equation}\label{eq600002a}
||\vec x\pm \vec y||^2=
||\vec x||^2\pm 2(\vec x,\vec y)+||\vec y||^2
\end{equation}
を示しましょう．
- ビデオ解説
- レジュメ演習3.4
-
以下の補助定理を用いて
\begin{equation}\label{eq:linearity002354}
\left|\
\lambda\vec{\alpha}+\mu\vec{\beta}\quad \vec{b}\quad \vec{c}\
\right|
=\lambda\left|\
\vec{\alpha}\quad \vec{b}\quad \vec{c}\
\right|
+
\mu\left|\
\vec{\beta}\quad \vec{b}\quad \vec{c}\
\right|
\end{equation}
を示しましょう．
-
補助定理
$F:\ \mathbf{R}^3\longrightarrow \mathbf{R}\quad
\vec x\mapsto a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3
$
は
$$
F(\lambda \vec x+\mu \vec y)=\lambda F(\vec x)+\mu F(\vec y)
$$
を満たします．
- レジュメ演習3.5
- 次の行列式の値を求めましょう．
(1)
$
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9
\end{vmatrix}
$
(2)
$
\begin{vmatrix}
2&-1&-3\\
1&1&1\\
4&5&6
\end{vmatrix}
$
(3)
$
\begin{vmatrix}
2&4&6\\
0&2&3\\
1&4&9
\end{vmatrix}
$
(4)
$
\begin{vmatrix}
1&a&a^2\\
1&b&b^2\\
1&c&c^2
\end{vmatrix}
$
- ビデオ解説
- 解答PDF
- レジュメ演習3.6
-
$$
\left|
\begin{array}{cc}
a_1&c_1\\
a_2&c_1
\end{array}
\right|
x
+
\left|
\begin{array}{cc}
b_1&c_1\\
b_2&c_2
\end{array}
\right|
y
=
\left|
\begin{array}{cc}
\alpha_1&c_1\\
\alpha_2&c_2
\end{array}
\right|\quad \cdots (\mathrm{I})=(1)\times c_2-(2)\times c_1
$$
$$
\left|
\begin{array}{cc}
a_1&c_1\\
a_3&c_3
\end{array}
\right|
x
+
\left|
\begin{array}{cc}
b_1&c_1\\
b_3&c_3
\end{array}
\right|
y
=
\left|
\begin{array}{cc}
\alpha_1&c_1\\
\alpha_3&c_3
\end{array}
\right|\quad \cdots (\mathrm{II})=(1)\times c_3-(3)\times c_1
$$
$$
\left|
\begin{array}{cc}
a_2&c_2\\
a_3&c_3
\end{array}
\right|
x
+
\left|
\begin{array}{cc}
b_2&c_2\\
b_3&c_3
\end{array}
\right|
y
=
\left|
\begin{array}{cc}
\alpha_2&c_2\\
\alpha_3&c_3
\end{array}
\right|\quad \cdots (\mathrm{III})=(2)\times c_3-(3)\times c_2
$$
において$a_a\times (III)-a_2\times (II)+a_3\times (I)$を計算して，クラメールの公式の$y$の公式を導きましょう．
- ビデオ解説
- 解答PDF
- レジュメ演習3.7
-
次の連立$1$次方程式をクラメーの公式を用いて
解きましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
2&-2&4\\
2&3&2\\
-1&1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}$
(2)
$
\begin{pmatrix}
2&1&2\\
0&1&-1\\
2&3&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\1
\end{pmatrix}
$
- ビデオ解説
- 解答PDF
第3章追加演習問題
- I（教科書20p. 演習1.2.4の拡張）
-
次の$\vec a, \vec b\in\mathbf{R}^n$に対して
$$
L=\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}
$$
を考えます．条件
$$
||\vec p||=||\vec q||=1,\ (\vec p,\vec q)=0
$$
を満たす$\vec p,\vec q\in L$を求めましょう．
-
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}$
(2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\2\\1
\end{pmatrix}$
(3)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1\\1
\end{pmatrix}$
(4)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\2\\1
\end{pmatrix}$
- ビデオ解説（総論）
- ビデオ解説(1)
- ビデオ解説(2)
- ビデオ解説(3)
- ビデオ解説(4)
- II（Iの続き）
- Iの$\vec p,\vec q$を用いて
$$
||\vec c-x\vec a-y\vec b||^2
$$
を最小にする$x,y\in\mathbf{R}$を求めましょう．
-
(1)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(2)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(3)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
1\\0\\0\\0
\end{pmatrix}$
(4)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\1
\end{pmatrix}$
- ビデオ解説（総論）
- ビデオ解説(1)
- ビデオ解説(2)
- ビデオ解説(3)
- ビデオ解説(4)
- ビデオ解説(4)（補足）
- III
- $\vec x,\vec y\in\mathbf{R}^n$が平行でないとします。このとき
$\vec x\not\parallel \lambda \vec x+\vec y$,
$\vec x+\vec y\not\parallel \vec x-\vec y$
であることを示しましょう。
- 解答ビデオ
- 解答ビデオ(2018版）
- 解答ビデオ(2018版）（解説）
- IV
-
$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^n$は平行でないとします：
\begin{equation*}
\vec a\nparallel\vec b
\end{equation*}
このとき
\begin{equation*}
\vec \alpha=x\vec a+y\vec b,\quad
\vec \beta=z\vec a+w\vec b
\end{equation*}
とするとき
\begin{equation*}
\vec \alpha\nparallel\vec \beta
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{vmatrix}
x&z\\
y&w
\end{vmatrix}
\not=0
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- 解答ビデオ
- V
- $\vec x,\vec y\in\mathbf{R}^n$とします．
- (1)
\begin{equation*}
\vec x\nparallel \vec y\quad\Leftrightarrow\quad
\vec x\nparallel \lambda\vec x+\vec y
\end{equation*}
を示しましょう．
- (2) $\vec x$の第1成分が$x_1\not=0$を満たすとします．
(1)を$\lambda=-\frac {y_1}{x_1}$で適用することによって
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x_i&y_i\\
x_j&y_j
\end{vmatrix}
=0
\end{equation*}
が
$i\not=j$
を満たすすべての$i,j$に対して成立ならば
\begin{equation*}
\vec x\parallel\vec y
\end{equation*}
が従うことを証明しましょう．
- 解答ビデオ(1)
- 解答ビデオ(2)
- VI
-
$a,b,c\in\mathbf{R}$は相異なる実数とします．このとき3点
\begin{equation}
(a,\alpha),\quad (b,\beta),\quad (c,\gamma)
\end{equation}
を通る放物線
\begin{equation}
y=Ax^2+Bx+C
\end{equation}
を求めましょう．ここではクラメールの公式を用いて$A,B,C$を求めましょう．
- 解答ビデオ
第4章追加演習問題
- I
- (1)
\begin{equation*}
{}_{n+1}C_k={}_nC_k+{}_nC_{k-1}
\end{equation*}
を示しましょう．
- (2)
(1)を用いて$B\in M_2(\mathbf{K})$に対して
\begin{equation*}
(I+B)^n=I+{}_nC_1B+{}_nC_2B^2+\cdots+
{}_nC_kB^k+\cdots+B^n
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- 解答ビデオ
- II
- $A=
\begin{pmatrix}
1&a\\0&1
\end{pmatrix}$
に対して$A^n$を求めましょう。
- 解答ビデオ
- 解答ビデオ(2018版)
- III
-
$A,B\in M_2(\mathbf{K})$は正則とします．このとき
\begin{equation}
AB,\ A^{-1}
\end{equation}
が正則であることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- IV
-
$A\in M_2(\mathbf{K})$とします．任意の$X\in M_2(\mathbf{K})$に
対して
\begin{equation}
AX=XA
\end{equation}
を満たす$A$をすべて求めましょう．
- 解答ビデオ