線型代数学演習問題 第10講　2020/10/09

I

$V_1$, $V_2$, $V_3$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$ V_i\perp V_j\quad (i\not=j) $$ ならば $$ V_1\oplus V_2\oplus V_3 $$ となることを示しましょう。

[解答ビデオ]

II

$V_1$, $V_2$, $V_3$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。 $$ V_1\oplus V_2\oplus V_3 $$ ならば $$ \dim(V_1\oplus V_2\oplus V_3)=\dim V_1+\dim V_2+\dim V_3 $$ となることを示しましょう。

[解答ビデオ]

III

$A\in M_n(\mathbf{K})$とします。

(1) $A^2=O_n$ならば$I+A$が正則であることを示しましょう。

(2) $A^r=O_n$ ($r\geq 1$)ならば$I+A$が正則であることを示しましょう。

[解答ビデオ]

IV

$A\in M_n(\mathbf{K})$が$A^2=A$を満たすとします。

(1) $\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{ker}(A)$が成立することを示しましょう。

(2) $\mathbf{K}^n=\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{Im}(I-A)$が成立することを示しましょう。

(3)$\mathbf{K}^n=\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{ker}(A)$

[解答ビデオ] (1)・(2)・(3)

[解答ビデオ]

V

解答ビデオ (1), (2), (3), (4)

以下の行列式を因数分解しましょう．

(1) $ \begin{pmatrix} a&bc&b+c\\ b&ca&c+a\\ c&ab&a+b \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 1&a&a^3\\ 1&b&b^3\\ 1&c&c^3 \end{pmatrix} $

(3) $ \begin{pmatrix} 1&ab&a+b\\ 1&bc&b+c\\ 1&ca&c+a \end{pmatrix} $ (4) $ \begin{pmatrix} a+b+2c&a&b\\ b&b+c+2a&c\\ c&a&c+a+2b \end{pmatrix} $