線型代数学確認問題 第08講　2020/09/25

I

演習5.1 （教科書 131p)
$V$と$W$を$\mathbf{K}^n$の部分空間とします．このとき $V\cap W$と $$ V+W:=\{\vec v+\vec w;\ \vec v\in V,\ \vec w\in W\} $$ が$\mathbf{K}^n$の部分空間であることを示しましょう．また $V$が$\mathbf{R}^n$の部分空間であるとき $$ V^\perp=\{\vec x\in\mathbf{R}^n;\ (\vec x,\vec v)=0\ %%%2010/02/21 (\mbox{すべての}\vec v\in V)\} $$ が$\mathbf{R}^n$の部分空間であることを示しましょう （$V^\perp$を$V$の直交補空間と呼びます）．

解説ビデオ, 解答PDF

II

演習7.8 対称行列$A$が定める$2$次形式が正定値であるとします．このとき$A$が正則で あることを確認して，$A^{-1}$が対称で$A^{-1}$が 定める$2$次形式も正定値であることを示しましょう．

解答PDF(292p)

ビデオ解説

III

2行3列の狭義の階段行列を分類の上、解空間の基底を求めましょう．

解答ビデオ

IV

$A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&-1&1\\ 1&0&-2 \end{pmatrix}$ に対して固有多項式$\Phi_A(\lambda)$を求めて、すべての固有値に対して固有ベクトルを求めよ。

[解答ビデオ]

[解答PDF]

V

次の$3$次正方行列$A\in M_3(\mathbf{R})$に対し て固有値と固有ベクトルをすべて求めましょう。

(1) $ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&4&0\\ 0&5&6 \end{pmatrix} $ (2) $A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\-1&2&1\\0&1&-1\end{pmatrix}$ (3) $A= \begin{pmatrix} 1&2&2\\ 1&2&-1\\ -1&1&4 \end{pmatrix} $ (4) $A=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&2&0\\2&0&4\end{pmatrix}$

[解答ビデオ](1)・ (2) ・ (2)(2020年版） ・ (3)・ (4)

[解答PDF] (2020年9月20日15:00修正版）

VI

\begin{equation*} \sigma_1= \left( \begin{smallmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{smallmatrix} \right),\quad \sigma_2= \left( \begin{smallmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{smallmatrix} \right),\quad \sigma_3= \left( \begin{smallmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{smallmatrix} \right),\quad \sigma_4= \left( \begin{smallmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{smallmatrix} \right),\quad \sigma_5= \left( \begin{smallmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{smallmatrix} \right),\quad \sigma_6= \left( \begin{smallmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{smallmatrix} \right) \end{equation*} とします．

(1) $\sigma_i\sigma_j\ (i,j=1,2,\ldots,6)$を求めましょう．

(2) $\sigma_i^{-1}\ (i=1,2,\ldots,6)$を求めましょう．

[解答PDF]