線型代数学確認問題(追加)(第18講義, 2020年12月18日）

I

次のエルミート行列$A$をユニタリー行列で対角化しましょう．

(1) $ A= \left( \begin{matrix} -1&{i}&0\\ -i&-2&1\\ 0&1&-1 \end{matrix} \right) $ (2) $ A= \left( \begin{matrix} 0&-i&1\\ i&0&-1\\ 1&{i}&0 \end{matrix} \right) $

II

$A\in M_n(\mathbf{C})$がエルミート行列であるとき， $U\in U(n$に対して$U^*AU$もエルミートであることを示しましょう．

III

$\vec{p}_1= \frac 1{\sqrt{3}} \left( \begin{matrix} 1\\i\\1 \end{matrix} \right) $ に対して$P=(\vec{p}_1\ \vec{p}_2\ \vec{p}_3)\in U(3)$を一つ 求めましょう．

IV

以下の3次正方行列$A$に対してJordan標準形を求めましょう．

(1) $ A= \left( \begin{matrix} 2&2&1\\ 1&3&4\\ -1&-2&-2 \end{matrix} \right) $ (2) $ A= \left( \begin{matrix} 2&-4&-2\\ -1&0&3\\ 1&0&-3 \end{matrix} \right) $ (3) $ A= \left( \begin{matrix} -1&0&-3\\ 4&-2&-4\\ -7&-2&3 \end{matrix} \right) $

(4) $ A= \left( \begin{matrix} 1&1&0\\ -5&5&-1\\ -2&0&1 \end{matrix} \right) $ (5) $ A= \left( \begin{matrix} 0&1&-1\\ 2&1&-2\\ 1&4&-4 \end{matrix} \right) $ (6) $ A= \left( \begin{matrix} -4&3&-1\\ -6&5&-2\\ -9&9&-4 \end{matrix} \right) $

(7) $ A= \left( \begin{matrix} -2&0&3\\ 0&2&1\\ 0&-1&0 \end{matrix} \right) $ (8) $ A= \left( \begin{matrix} 11&-4&28\\ 2&2&7\\ -2&1&-4 \end{matrix} \right) $ (9) $ A= \left( \begin{matrix} -1&1&-2\\ 1&-1&-2\\ -2&-2&2 \end{matrix} \right) $