線型代数演習問題(第13講義, 2020年10月30日）

I

以下では、実対称行列$A\in M_2(\mathbf{R})$ に対して \begin{eqnarray*} (A\vec x,\vec x)\geq 0 (\vec x\in \mathbf{R}^2)&\Leftrightarrow& A \text{の固有値}\alpha,\beta\geq 0\\ &\Leftrightarrow& A=\begin{pmatrix} a&c\\c&b\end{pmatrix}\text{のとき} a,b\geq 0,|A|\geq 0 \end{eqnarray*} であることを用います。$m\times 2$行列$B=(\vec a\ \vec b)$に対し て不等式 $$ |(\vec a,\vec b)| \leq ||\vec a||\cdot ||\vec b|| $$ が成立することを示しましょう。さらに不等式の等号成立条件を求めましょう。

[解答ビデオ]

II

$\mathbf{R}^4$の部分空間 $$ V:= \left\{ \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix};\ \left( \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix} \right)=0 \right\} $$ を定めます。そして$V$の基底を $$ \vec q_1= \left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\\1\end{smallmatrix}\right),\quad \vec q_2= \left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\\1\end{smallmatrix}\right),\quad \vec q_3= \left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\\1\end{smallmatrix}\right),\quad $$ と取ります。

(1) $V_2=\mathbf{R}\vec q_1+\mathbf{R}\vec q_2$の正規直交基底基底を求めましょう。

(2) $\vec q_2$の$V_2$への直交射影を求めて、$V$の正規直交基底を求めましょう。

[解答ビデオ](1)・(2)

III

$\vec q_1:=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$とします。 $$ V:=\{\vec v\in \mathbf{R}^3;\ (\vec v,\vec q_1)=0\} $$ と2次元の部分空間を定めます。このとき$\vec x\in\mathbf{R}^3$の$V$への正射影$P\vec x$は $$ P\vec x\in V,\quad \vec x-P\vec x\perp \vec q_1 $$ で定まります。

(1) $P$を行列で表しましょう。

(2)$V$に関する鏡映 $$ Q\vec x=\vec x+2(P\vec x-\vec x) $$ で定まる$Q$を行列で表しましょう。

[解答ビデオ(1)] ・ [解答ビデオ(2)]

IV

3次の直交群 $$ O(3):=\{P\in M_3(\mathbf{R});\ {}^tPP=P{}^tP=I_3\} $$ に対して以下を示しましょう。

(1)$P_1, P_2\in O(3)$ならば$P_1P_2\in O(3)$を示しましょう。

(2)$P\in O(3)$ならば${}^tP\in O(3)$を示しましょう。

[解答ビデオ]