数理科学基礎第4章演習問題(2018年04月26日配布）
- I
-
次の行列の積を計算しましょう．
(1)
$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\beta&-\sin\beta\\
\sin\beta&\cos\beta
\end{pmatrix}
$
(2)
$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
\sin\alpha&-\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
\sin\alpha&-\cos\alpha
\end{pmatrix}
$
(3)
$\begin{pmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$
(4)
$\begin{pmatrix}
1&0\\
\lambda&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$
(5)
$\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$
(6)
$\begin{pmatrix}
\lambda&0\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$
(7)
$\begin{pmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&\mu\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(8)
$\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
$
(9)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(10)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lambda&0\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(11)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ(1)+(2)
・
解答ビデオ(3)--(11)
- II
-
$A=
\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}
$
に対してその転置行列を
${}^tA=
\begin{pmatrix}
a&c\\b&d
\end{pmatrix}
$
によって定義します。
$\vec v, \vec w\in\mathbf{R}^2$に対して
$$
(A\vec v,\vec w)=(\vec v,{}^tA\vec w)
$$
が成立することを示しましょう。
- 解答ビデオ
- 解答PDF
- III
- (1)座標変換
$$
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\xi\\\eta
\end{pmatrix}
$$
によって
$$
z=x^2+xy+y^2-x-2y
$$
を$\xi$, $\eta$で表しましょう。
-
(2) (1)を用いて$z$の最小値を求めましょう。
- 解答ビデオ
- IV
-
$$
z=x^2-xy+y^2-2x+3y
$$
に対して，平行移動の座標変換を用いて1次の項のない形にしましょう．
- 解答ビデオ
- V
- 次の行列の逆行列を求めましょう．
(1)
$A=\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
$
(2)
$A=\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
$
(3)
$A=\begin{pmatrix}
1&0\\\lambda&1
\end{pmatrix}
$
(4)
$A=\begin{pmatrix}
1&\lambda\\0&1
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ
- VI
-
$$
z=2x^2+4xy-y^2-20x-8y+32
$$
に対して，平行移動の座標変換を用いて1次の項のない形にしましょう．
- 解答ビデオ
- VII
- $a>0$, $ab-c^2>0$のとき
$$
ax^2+2cxy+by^2>0\quad
\left(
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
\not=\vec 0
\right)
$$
が成立することを示しましょう．
- 解答ビデオ
- VIII
-
$A=(\vec a\ \vec b)$は2次正方行列であるとします．
$$
\varphi:\ \mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R}^2\quad
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
\mapsto
A
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$$
が全射とします．このとき$|A|=|\vec a\ \vec b|\not=0$
が成立することを証明しましょう．
- 解答ビデオ