Gaussの掃き出し法演習問題---連立1次方程式・逆行列
- 演習3.2（教科書65p）
-
次の行列を行基本変形を用いて狭義の階段行列にしましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&2&-1&4\\
3&2&0&2\\
0&1&3&2\\
3&3&3&4
\end{pmatrix}
$
(2)
$\begin{pmatrix}
4&7&-14&10\\
2&3&-4&-4\\
1&1&1&6
\end{pmatrix}
$
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- 演習3.3（教科書66p）
-
(3.4)式，すなわち
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&2&3&4&0\\2&3&4&5&0\\3&5&5&7&0
\end{array}
\right)
\rightarrow\cdots\rightarrow
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&0&0&-1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&1&0
\end{array}
\right)
\end{equation*}
の行基本変形をしてみましょう．
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- 演習3.4（教科書67p）
-
(3.6)式すなわち
\begin{equation*}%\label{rowechelon020001b}
\begin{pmatrix}
3&2&-1&-2\\
0&2&2&-2\\
1&1&0&-1\\
4&5&1&-5
\end{pmatrix}
\rightarrow\cdots\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&0&-1&0\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0
\end{pmatrix}=B
\end{equation*}
の行基本変形をしましょう．また
(3.7)式において
$
\begin{pmatrix}
1\\-1\\1\\0
\end{pmatrix}
$
と
$
\begin{pmatrix}
0\\1\\0\\1
\end{pmatrix}
$
が平行でないことを示しましょう．
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- 演習3.5（教科書67p）
-
以下の行列$A$に対して斉次方程式$A\vec x=\vec 0$を解きましょう．
(1)
$\begin{pmatrix}
1&2&0&1\\
2&1&1&3\\
3&3&1&4
\end{pmatrix}$
(2)
$
\begin{pmatrix}
1&-3&0&2\\
2&-6&2&2\\
4&-12&3&5
\end{pmatrix}
$
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- 演習3.6（教科書69p）
-
以下の$A_0$に対して斉次方程式$A_0\vec x=\vec 0$を解きましょう．
\begin{equation*}
O_3,\
\begin{pmatrix}
1&\alpha&\beta\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0&1&\alpha\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1&0&\alpha\\
0&1&\beta\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1&\alpha&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
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- 演習3.7（教科書72p）
-
次の拡大行列が表す連立$1$次方程式に解が
存在するかについて調べ，解が存在するならば求めましょう．
(1)
$
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&-1&2&1&2\\
3&2 &0 &1 &1 \\
4&1&2&2&3
\end{array}
\right)
$
(2)
$
\left(
\begin{array}{ccc|c}
2&6&0&11\\
6&20&-6&3\\
0&6&-18&1
\end{array}
\right)
$
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- 演習3.8（教科書72p）
-
連立$1$次方程式
$$
\left\{
\begin{array}{lcl}
2x+y-z&=&1 \\
x-3y+2z&=&4 \\
3x-2y+z&=&c
\end{array}
\right.
$$
に解が存在する条件を求めましょう．
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- 演習3.9（教科書72p）
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\4&3&2\\0&2&4
\end{pmatrix}
$
とします．$A\vec x=\vec b$に解が存在する条件を求めましょう．
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- 演習3.12（教科書79p）
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次の行列の逆行列が存在すれば求めましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&1&2&1\\
2&3&4&1\\
3&3&3&1\\
1&2&3&1
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
2&-2&4\\
2&3&2\\
-1&1&-1
\end{pmatrix}
$
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- 演習3.13（教科書80p）
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$\vec x,\ \vec y,\ \vec z,\ \vec a,\ \vec b,\ \vec c\in\mathbf{R}^n$
が関係式
$$
\left\{
\begin{array}{lcl}
\vec x-\vec y+2\vec z&=&\vec a \\
2\vec x+\vec y-\vec z&=&\vec b \\
3\vec x-2\vec y+ \vec z&=&\vec c
\end{array}
\right.
$$
満たしているとします．このとき$\vec x,\ \vec y,\ \vec z$
を$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$で表しましょう．これはある行列の
逆行列を計算して表しましょう．
-
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