MSF2019第5章確認問題
- I
- $\vec a=
\begin{pmatrix}
-2\\1\\0
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\1
\end{pmatrix}$
とします。$\vec v\in\mathbf{R}^3$の
$$
L(\vec a,\vec b)=\{s\vec a+t\vec b\in\mathbf{R}^3;\
s,t\in\mathbf{R}\}
$$
への直交射影を$\vec w$とするとき
$$
\vec w=P\vec v
$$
を満たす$3$次正方行列$P\in M_3(\mathbf{R})$を求めましょう。
- 解答ビデオ
- II
- $\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}$
とします。$\vec v\in\mathbf{R}^3$の$\vec a$方向への直交射影を$\vec w$とするとき
$$
\vec w=Q\vec v
$$
を満たす$3$次正方行列$Q\in M_3(\mathbf{R})$を求めましょう。
- 解答ビデオ
- III
-
$\vec a=
\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\not=\vec 0
$
とします。$\vec w$を$\vec v\in\mathbf{R}^2$の$\vec a$方向の直交射
影とします。このとき
$$
\vec q=\vec v+2(\vec w-\vec v)=2\vec w-\vec v
$$
に対して
$$
\vec q=Q\vec v
$$
を満たす行列$Q$を求めましょう。さらに
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
\cos\theta\\\sin\theta
\end{pmatrix}
$$
のとき$Q$を求めましょう。
- 解答ビデオ
- IV
-
$A=(\vec a_1\ \cdots\ \vec a_n)$,
$B=(\vec b_1\ \cdots\ \vec b_n)$を$m\times n$行列とします。このと
き
$$
A\vec v=B\vec v\quad (\vec v\in\mathbf{K}^n)
$$
ならば$A=B$となることを示しましょう。
- 解答ビデオ
- V
- 次の行列の計算をしましょう。
(1) $\begin{pmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
(2) $\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
(3)$\begin{pmatrix}a&\alpha&p\\b&\beta&q\\c&\gamma&r\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
(4) $\begin{pmatrix}1&2&-3&4\\0&4&-6&7\\2&4&-6&8\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}$
- 解答ビデオ
- VI
- $A=(\vec a\ \vec b\ \vec c)$に対して次の計算をしましょう。
(1) $A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$
(2) $A\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$
(3) $A\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
(4) $A\begin{pmatrix}1\\0\\\lambda\end{pmatrix}$
(5) $A\begin{pmatrix}0\\\lambda\\0\end{pmatrix}$
- 解答ビデオ
- VII
- $A=(\vec a\ \vec b\ \vec c)$に対して次の計算をしましょう。
(1) $A\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
(2) $A\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$
(3) $A\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
- 解答ビデオ
- VIII
- 次の掛け算をしましょう。
$$\begin{pmatrix}a&d&e\\0&b&f\\0&0&c\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x&p&q\\0&y&r\\0&0&z\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}x&0&0\\p&y&0\\r&q&z\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a&0&0\\d&b&0\\f&e&c\end{pmatrix}$$
- 解答ビデオ
- IX
- 問題VIIを参考にして次の行列の逆行列を求めましょう．ただし，$C$においては
$\lambda\not=0$とします．
$B=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$,
$C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\lambda\end{pmatrix}$,
$D=\begin{pmatrix}1&0&\lambda\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
- 解答ビデオ