線型代数学確認問題 第6講 L06 2020/07/10
- I
- $O(2)$を2次の直交行列の全体とします．すなわち
\begin{equation*}
O(2):=\{P\in M_2(\mathbf{R});\ {}^tPP=P{}^tP=I_2\}
\end{equation*}
と定義します．
\begin{equation*}
P_1,P_2\in O(2)\Rightarrow P_1P_2\in O(2),\ {}^tP_1=P_1^{-1}\in O(2)
\end{equation*}
を示しましょう．
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- II
-
$P\in M_2(\mathbf{R})$が
\begin{equation*}
(P\vec v,P\vec w)=(\vec v,\vec w)\quad
(\vec v,\vec w\in\mathbf{R}^2)
\end{equation*}
を満たすならば
\begin{equation*}
{}^tPP=P{}^tP=I_2
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
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- III
-
$P\in M_2(\mathbf{R})$が
\begin{equation*}
||P\vec v||=||\vec v||\quad
(\vec v\in\mathbf{R}^2)
\end{equation*}
を満たすならば
\begin{equation*}
(P\vec v,P\vec w)=(\vec v,\vec w)\quad
(\vec v,\vec w\in\mathbf{R}^2)
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
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- IV
- 次の2次曲線を座標の平行移動と回転座標変換を用いて簡単にしましょう。
-
解答PDF
- (1) $2x^2-\sqrt{3}xy+y^2+(2\sqrt{3}-4)x+(\sqrt{3}-4)y+(4-\sqrt{3})=0$
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- (2) $x^2-4xy+4y^2-8x+6y=0$
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- (3) $2x^2+4xy-y^2-20x-8y+32=0$
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- (4) $x^2+xy+y^2+x+y=0$
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- (5) $x^2-4xy+y^2+2x+4y-5=0$
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- (6) $x^2-4xy+4y^2-5y-2=0$
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