線型代数学演習問題 第08講　2020/09/25

I

$A\in M_3(\mathbf{K})$に対して
$$A\text{は正則}\Leftrightarrow \Phi_A(0)\not=0$$ が成立することを証明しましょう。

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II

演習8.1

$A\in M_3(\mathbf{K})$を $A=(\vec a_1\ \vec a_2\ \vec a_3)$と列ベクトル表示をするとき $$\Phi_A(\lambda)= \left| \lambda\vec e_1-\vec a_1\ \lambda\vec e_2-\vec a_2\ \lambda\vec e_3-\vec a_3 \right|$$ において各列の線型性を用いて展開して $$\begin{equation*} \Phi_A(\lambda)=\lambda^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+c_1\lambda -\det(A) \end{equation*}$$ において $$\begin{equation*} c_1= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}&a_{13}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix} \end{equation*}$$ が成立することを示しましょう．

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III

演習8.2

演習8.2の前半部分は以下です．

一般に $$\frac d{dt}\begin{pmatrix}a_1(t)\\a_2(t)\\a_3(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a'_1(t)\\a'_2(t)\\a'_3(t)\end{pmatrix}$$ と定めます。$\vec a(t),\vec b(t),\vec c(t)$が$\mathbf{R}^3$値のとき $$\frac d{dt} \begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\frac d{dt}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\vec a(t)&\frac d{dt}\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\frac d{dt}\vec c(t)\end{vmatrix}$$ が成立することを示しましょう。

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後半部分は以下に含まれています． $A\in M_3(\mathbf{R})$に対して $$\Phi_A(t)=\det(tI_3-A)$$ と定めます。このとき$\Phi_A'(0)$と$\Phi''_A(0)$を求めましょう。

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IV

$A\in M_3(\mathbf{K})$に対して $$\Phi_{{}^tA}(\lambda)=\Phi_{A}(\lambda)$$ が成立することを示しましょう。

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V(VIの準備)

$A\in M_3(\mathbf{K})$とします。$\alpha,\beta\in\mathbf{K}$が条件 $$\alpha\not=\beta$$ を満たすとします。さらに$\vec p,\vec q\in\mathbf{K}^3$が条件 $$A\vec p=\alpha\vec p, A\vec q=\beta\vec q$$ $$\vec p+\vec q=\vec 0$$ を満たすならば、 $$\vec p=\vec q=\vec 0$$ が成立することを証明しましょう。

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VI

$A\in M_3(\mathbf{K})$とします。$\alpha,\beta,\gamma\in\mathbf{K}$が条件 $$\alpha\not=\beta,\ \beta\not=\gamma,\ \gamma\not=\alpha$$ を満たすとします。さらに$\vec p,\vec q,\vec r\in\mathbf{K}^3$が条件 $$A\vec p=\alpha\vec p, A\vec q=\beta\vec q, A\vec r=\gamma\vec r$$ $$\vec p+\vec q+\vec r=\vec 0$$ を満たすならば、 $$\vec p=\vec q=\vec r=\vec 0$$ が成立することを証明しましょう。

ビデオ解説(2015年撮影）

ビデオ解説（2019年撮影）

VII

$\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\in \mathbf{R}^n$, $A=(\vec a_1\ \vec a_2\ \vec a_3)$とします。このとき$\vec v\in\mathbf{R}^3$に対して $${}^tAA\vec v=\vec 0\Leftrightarrow A\vec v=\vec 0$$ であることを示しましょう。

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VIII

$m\times n$行列$A$が定める線型写像 $$f_A:\ \mathbf{K}^n\rightarrow \mathbf{K}^m$$ に対して以下の(i)と(ii)を示しましょう。

(i) $f_A$が単射ならば$n\leq m$が成立する。

(ii)$f_A$が全射ならば$n\geq m$が成立する。

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IX

演習5.10（教科書139ページ）

次の行列$A$に対して$\ker(A)$と$\mathrm{Im}(A)$の基底を求めましょう．
(1) $\begin{pmatrix} 1&2&6\\ 2&3&5\\ 5&7&9 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1&-2&-3&5\\ 3&1&-7&6\\ 2&10&-2&-8 \end{pmatrix}$

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