線型代数学演習問題 第08講 2020/09/25
- I
- $A\in M_3(\mathbf{K})$に対して
$$
A\text{は正則}\Leftrightarrow
\Phi_A(0)\not=0
$$
が成立することを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- 演習8.1
- $A\in M_3(\mathbf{K})$を
$A=(\vec a_1\ \vec a_2\ \vec a_3)$と列ベクトル表示をするとき
$$
\Phi_A(\lambda)=
\left|
\lambda\vec e_1-\vec a_1\ \lambda\vec e_2-\vec a_2\ \lambda\vec e_3-\vec a_3
\right|
$$
において各列の線型性を用いて展開して
\begin{equation*}
\Phi_A(\lambda)=\lambda^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+c_1\lambda
-\det(A)
\end{equation*}
において
\begin{equation*}
c_1=
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{22}&a_{23}\\
a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{13}\\
a_{31}&a_{33}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- III
- 演習8.2
- 演習8.2の前半部分は以下です．
- 一般に
$$
\frac d{dt}\begin{pmatrix}a_1(t)\\a_2(t)\\a_3(t)\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a'_1(t)\\a'_2(t)\\a'_3(t)\end{pmatrix}
$$
と定めます。$\vec a(t),\vec b(t),\vec c(t)$が$\mathbf{R}^3$値のとき
$$
\frac d{dt}
\begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}\frac d{dt}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}\vec a(t)&\frac d{dt}\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\frac d{dt}\vec c(t)\end{vmatrix}
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- 後半部分は以下に含まれています．
$A\in M_3(\mathbf{R})$に対して
$$
\Phi_A(t)=\det(tI_3-A)
$$
と定めます。このとき$\Phi_A'(0)$と$\Phi''_A(0)$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
- $A\in M_3(\mathbf{K})$に対して
$$
\Phi_{{}^tA}(\lambda)=\Phi_{A}(\lambda)
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V(VIの準備)
- $A\in M_3(\mathbf{K})$とします。$\alpha,\beta\in\mathbf{K}$が条件
$$
\alpha\not=\beta
$$
を満たすとします。さらに$\vec p,\vec q\in\mathbf{K}^3$が条件
$$
A\vec p=\alpha\vec p, A\vec q=\beta\vec q
$$
$$
\vec p+\vec q=\vec 0
$$
を満たすならば、
$$
\vec p=\vec q=\vec 0
$$
が成立することを証明しましょう。
- ビデオ解説
- VI
- $A\in M_3(\mathbf{K})$とします。$\alpha,\beta,\gamma\in\mathbf{K}$が条件
$$
\alpha\not=\beta,\ \beta\not=\gamma,\ \gamma\not=\alpha
$$
を満たすとします。さらに$\vec p,\vec q,\vec r\in\mathbf{K}^3$が条件
$$
A\vec p=\alpha\vec p, A\vec q=\beta\vec q, A\vec r=\gamma\vec r
$$
$$
\vec p+\vec q+\vec r=\vec 0
$$
を満たすならば、
$$
\vec p=\vec q=\vec r=\vec 0
$$
が成立することを証明しましょう。
- ビデオ解説(2015年撮影）
- ビデオ解説（2019年撮影）
- VII
- $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\in \mathbf{R}^n$,
$A=(\vec a_1\ \vec a_2\ \vec a_3)$とします。このとき$\vec v\in\mathbf{R}^3$に対して
$$
{}^tAA\vec v=\vec 0\Leftrightarrow
A\vec v=\vec 0
$$
であることを示しましょう。
- ビデオ解説
- VIII
- $m\times n$行列$A$が定める線型写像
$$
f_A:\ \mathbf{K}^n\rightarrow \mathbf{K}^m
$$
に対して以下の(i)と(ii)を示しましょう。
- (i) $f_A$が単射ならば$n\leq m$が成立する。
- (ii)$f_A$が全射ならば$n\geq m$が成立する。
- ビデオ解説
- IX
- 演習5.10（教科書139ページ）
-
次の行列$A$に対して$\ker(A)$と$\mathrm{Im}(A)$の基底を求めましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&2&6\\
2&3&5\\
5&7&9
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
1&-2&-3&5\\
3&1&-7&6\\
2&10&-2&-8
\end{pmatrix}
$
- 解答PDF
- ビデオ解説