線型代数学確認問題 第09講　2020/10/02

I

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 4&3&1&2 \end{pmatrix},\quad b= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 2&1&4&3 \end{pmatrix}$$ とに対して積$ab$と$ba$を求めましょう。

[解答ビデオ]

II

$ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 4&6&2&3&1&5 \end{pmatrix} $に対して$a^{-1}$を求めましょう。

[解答ビデオ]

III

$S_3$のすべての要素を互換の積で表しましょう。

[解答ビデオ]

IV

次の置換の符号を求めよ。

(1) $ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&5&4&3&1 \end{pmatrix} $ (2) $ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&3&5&1&4 \end{pmatrix} $

[解答ビデオ]V(1)+VI(1)

[解答ビデオ]V(2)+VI(2)

V

以下の置換$a$を互換の積で表しましょう．

(1) $ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&5&4&3&1 \end{pmatrix} $ (2) $ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&3&5&1&4 \end{pmatrix} $

[解答ビデオ](1), [解答ビデオ](2)

（符号を求める問題の解答も含まれています。）

VI

$f\in S_n$に対して $$ f^\#: \Omega_n\rightarrow \Omega_n \quad \{i,j\}\mapsto\{f(i),f(j)\} $$ が全単射であることを示しましょう。ただし次の定理を用いて、単射であること を示せば十分です。

定理　$X$を有限集合とします．このとき$f:X\rightarrow X$に 対して $$ f\text{は単射である}\Leftrightarrow f\text{は全射である} $$

[解答ビデオ]

VII

次の置換$a$を循環置換の積で表して、さらに互換の積で表しましょう。

(1) $ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 2&8&5&1&3&9&6&4&7 \end{pmatrix} $

[解答ビデオ]

(2) $ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 5&6&2&9&7&1&4&3&8 \end{pmatrix} $

[解答ビデオ]