線型代数演習---2次正方行列の逆行列

I

次の行列の逆行列を求めましょう．
(1) $A=\begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix} $ (2) $A=\begin{pmatrix} 1&-1\\1&1 \end{pmatrix} $ (3) $A=\begin{pmatrix} 1&0\\\lambda&1 \end{pmatrix} $ (4) $A=\begin{pmatrix} 1&\lambda\\0&1 \end{pmatrix} $ (5) $A=\begin{pmatrix} 1&1\\1&2 \end{pmatrix} $ (6) $A=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} $ (7) $A=\begin{pmatrix} 2&5\\1&3 \end{pmatrix} $

解答ビデオ(1)--(4)

II

以下の等式を満たす$2$次正方行列$X$を求めましょう．

(i) $ \begin{pmatrix} 1&2\\-2&1 \end{pmatrix} X= \begin{pmatrix} 3&4\\5&6 \end{pmatrix} $

(ii) $ X \begin{pmatrix} 3&4\\5&6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2\\-2&1 \end{pmatrix} $

III

2次正方行列$A$, $B$が正則であるとします．このとき $AB$と$A^{-1}$が正則であることを示しましょう．

IV

2次正方行列$A=(\vec a_1\ \vec a_2)$が $$ A\vec x=\vec 0\quad (\vec x\in\mathbf{R}^2) $$ を満たすとします．このとき$A=O_2$となることを示しましょう．
Hint:標準単位ベクトル $ \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} $ を$\vec x$として考えましょう．