MSF2019第5章演習問題
- I
-
実$2$次正方行列$A=
\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{pmatrix}\in M_2(\mathbf{R})
$
に対して
$$
||A||:=a_{11}^2+a_{21}^2+a_{12}^2+a_{22}^2
$$
をと定めます。($A$の自乗ノルムと呼びます。)
- (1) $\vec x\in\mathbf{R}^2$に対して
$$||A\vec x||\leq ||A||\cdot ||\vec x||$$
を示しましょう。
- (2)
$A,B\in M_2(\mathbf{R})$に対して
$$
||AB||\leq ||A||\cdot ||B||
$$
を示しましょう。
- 解答ビデオ
- II
- $A=
\begin{pmatrix}
1&\alpha&0\\0&1&\alpha\\0&0&1
\end{pmatrix}$
に対して$A^n$を求めましょう。
- 解答ビデオ
- III
- (1)
$
P_{13}(\lambda)=
\begin{pmatrix}
1&0&\lambda\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
$
とします。
(i) $P_{13}(\lambda)P_{13}(\mu)$を計算しましょう。
(ii) $P_{13}(\lambda)$が正則であることを示して
$P_{13}(\lambda)^{-1}$を求めましょう。
- (2)
$
Q=
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}
$
とします。
(i) $Q^2$を計算しましょう。
(ii) $Q$が正則であることを示して$Q^{-1}$を求めましょう。
- 解答ビデオ
- IV
- $A,B\in M_n(\mathbf{K})$とします。
- (1) $A$が正則ならば$A^{-1}$も正則であることを示しましょう。
- (2) $A,B$が正則ならば積$AB$も正則であることを示しましょう。
- 解答ビデオ
- V
-
$$
A=
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
0&a_{22}&a_{23}\\
0&a_{32}&a_{33}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}&\mathbf{p}\\
0&\mathbf{q}\\
0&\mathbf{r}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}&\mathbf{p}\\
\begin{matrix}
0\\0
\end{matrix}&C
\end{pmatrix}
$$
$$
B=
\begin{pmatrix}
b_{11}&b_{12}&b_{13}\\
0&b_{22}&b_{23}\\
0&b_{32}&b_{33}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_{11}&b_{12}&b_{13}\\
\begin{matrix}
0\\0
\end{matrix}&
\vec u&\vec v
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_{11}&
\begin{matrix}
b_{12}&b_{13}
\end{matrix}
\\
\begin{matrix}
0\\0
\end{matrix}&D
\end{pmatrix}
$$
に対して以下を考えましょう。
- (1) $AB$を計算しましょう。
- (2) $a_{11}\not=0$かつ$C$が正則であるとき、$A$が正則であることを示しましょう。
- 解答ビデオ
・解答補足(PDF)
- VI
-
$
A=
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
0&1&-2\\
0&0&1
\end{pmatrix}
$
の逆行列を求めましょう。ただし行基本変形による掃き出し法は用いてはいけません。
- 解答ビデオ