MSF2019第5章演習問題

I

実$2$次正方行列$A= \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}\in M_2(\mathbf{R}) $ に対して $$ ||A||:=a_{11}^2+a_{21}^2+a_{12}^2+a_{22}^2 $$ をと定めます。($A$の自乗ノルムと呼びます。）

(1) $\vec x\in\mathbf{R}^2$に対して $$||A\vec x||\leq ||A||\cdot ||\vec x||$$ を示しましょう。

(2) $A,B\in M_2(\mathbf{R})$に対して $$ ||AB||\leq ||A||\cdot ||B|| $$ を示しましょう。

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II

$A= \begin{pmatrix} 1&\alpha&0\\0&1&\alpha\\0&0&1 \end{pmatrix}$ に対して$A^n$を求めましょう。

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III

(1) $ P_{13}(\lambda)= \begin{pmatrix} 1&0&\lambda\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} $ とします。
(i) $P_{13}(\lambda)P_{13}(\mu)$を計算しましょう。
(ii) $P_{13}(\lambda)$が正則であることを示して $P_{13}(\lambda)^{-1}$を求めましょう。

(2) $ Q= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix} $ とします。
(i) $Q^2$を計算しましょう。
(ii) $Q$が正則であることを示して$Q^{-1}$を求めましょう。

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IV

$A,B\in M_n(\mathbf{K})$とします。

(1) $A$が正則ならば$A^{-1}$も正則であることを示しましょう。

(2) $A,B$が正則ならば積$AB$も正則であることを示しましょう。

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V

$$ A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ 0&a_{22}&a_{23}\\ 0&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}&\mathbf{p}\\ 0&\mathbf{q}\\ 0&\mathbf{r}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}&\mathbf{p}\\ \begin{matrix} 0\\0 \end{matrix}&C \end{pmatrix} $$ $$ B= \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ 0&b_{22}&b_{23}\\ 0&b_{32}&b_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ \begin{matrix} 0\\0 \end{matrix}& \vec u&\vec v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11}& \begin{matrix} b_{12}&b_{13} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0\\0 \end{matrix}&D \end{pmatrix} $$ に対して以下を考えましょう。

(1) $AB$を計算しましょう。

(2)　$a_{11}\not=0$かつ$C$が正則であるとき、$A$が正則であることを示しましょう。

解答ビデオ ・解答補足(PDF)

VI

$ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&1&-2\\ 0&0&1 \end{pmatrix} $ の逆行列を求めましょう。ただし行基本変形による掃き出し法は用いてはいけません。

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