線型代数演習問題 3次行列式（演習問題）
- I
-
$\vec a\in \mathbf{R}^3$は
$\vec a={}^t(a_1\ a_2\ a_3)\not=\vec 0$を満たすとします。
$\det(I_3+\vec a\cdot {}^t\vec a)$を計算しましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- 座標平面上の$3$点$(x_i,y_i)\ (i=1,2,3)$が同一直線上に
あるための必要十分条件が
$$
\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}=0
$$
であることを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- $$
\frac {b+c}a=\frac {c+13a}b=\frac {a-b}c
$$
が成立します。この式の値を$3$次の行列式を用いて求めましょう。
- [解答ビデオ]（前半）
・（後半）
- IV
-
$A\in M_3(\mathbf{Z})$とします。すなわち$A=(a_{ij})$とするとき
$$
a_{ij}\in \mathbf{Z}
$$
が成立するとします。$A$が正則であると仮定すると
$$
A^{-1}\in M_{3}(\mathbf{Z})\Leftrightarrow
|A|=\pm 1
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- (1)
$$
\begin{vmatrix}
a&b&c\\
c&a&b\\
b&c&a
\end{vmatrix}
=a^3+b^3+c^3-3abc
$$
を示しましょう。
- (2)
$$
(a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz)
=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma
$$
を示しましょう。ただし
$$
\alpha=ax+by+cz,\quad \beta=ay+bz+cx,\quad \gamma=az+bx+cy
$$
とします。
- [解答ビデオ](1)・
(2)
- VI
-
$a,b,c\in\mathbf{R}$は相異なる実数とします．このとき3点
\begin{equation}
(a,\alpha),\quad (b,\beta),\quad (c,\gamma)
\end{equation}
を通る放物線
\begin{equation}
y=Ax^2+Bx+C
\end{equation}
を求めましょう．ここではクラメールの公式を用いて$A,B,C$を求めましょう．
- 解答ビデオ
- VII
-
$3$本の列ベクトル
$\vec{p}_j=
\left(
\begin{smallmatrix}
a_j\\b_j\\c_j
\end{smallmatrix}
\right)
\in\mathbf{R}^3\ (j=1,2,3)
$
が$\vec{p}_j\not=\vec{0}$を満たしているとします．
$\vec{p}_j$を法線ベクトルとして原点を通る$3$平面
\begin{equation*}
\pi_j:\ a_jx+b_jy+c_jz=0\quad(j=1,2,3)
\end{equation*}
が$1$直線を共有する必要十分条件が
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_1&b_1&c_1\\
a_2&b_2&c_2\\
a_3&b_3&c_3
\end{vmatrix}
=0
\end{equation*}
であることを示しましょう．
- 解答ビデオ