Courses by Nobuyuki TOSE, Year 2021-22

2022年度のページ

線型代数学（2023年度後期）

Lectures

L01 10/04 2次正方行列の固有値問題

Presentation 2次正方行列の固有値問題

(内容）なぜ行列の対角化をするか（線型写像と座標変換）・対角化の具体例

演習問題 教科書第6章の問題からI, II （解答は問題のページからリンクしてあります

（復習用アンドアウト）2次正方行列の正則性

L02 10/11 2次正方行列の固有値問題とCHの定理

Presentation 2次正方行列の固有値問題（12ページから） ・ 「2次正方行列のC-Hの定理」(V001b)

(内容）2次正方行列が対角化できるための十分条件・CHの定理と$A^n$の求め方

演習 C-Hの定理の演習は教科書第6章にあります． （演習問題, 演習問題解答 ）

L03 10/18 2次正方行列の固有値問題（続き）とCHの定理（続き）

Presentation 2次正方行列の固有値問題（固有値が重根の場合の4ページ分） ・ 「対称行列の対角化」(V05） ・ 「2次正方行列のC-Hの定理」(V001b)（重根の場合）

（内容）固有多項式の性質・重根を持つ場合で対角化できるのは・対称行列を回転行列で対角化する・重根を持つ場合に$A^n$を求めるには

演習問題（テキストの第7章の問題） ・ 演習問題解答 ・ 追加問題解答

L04 10/25 2次の2次形式とCHの定理（続き）

Presentation 「対称行列の対角化」(V05、2次形式） ・ 2次直交行列 ・ 「2次正方行列のC-Hの定理」(V001b)（重根の場合）

（内容）対称行列を回転行列で対角化することを用いて2次形式を単純化する・内積を保つ座標変換（直交変換）・重根を持つ場合に$A^n$を求めるには

演習問題（テキストの第7章の問題） ・ 演習問題解答 ・ 追加問題解答

L05 11/01 2次の2次形式とCHの定理（続き）、2変数の2次式

Presentation 「対称行列の対角化」(V05、2次形式の正定値性） ・ 2次直交行列 ・ 「2次正方行列のC-Hの定理」(V001b)（重根の場合） ・ 「2次形式の正低値性（補足」（ハンドアウト） ・ 「2変数の2次式」

（内容）対称行列が定める2次形式の符号について考える・内積を保つ座標変換（直交変換）・2変数の2次式・重根を持つ場合に$A^n$を求めるには

演習問題（テキストの第7章の問題） ・ 演習問題解答 ・ 追加問題解答

L06 11/08 CHの定理（続き）、2変数の2次式、直交行列

Presentation 「2変数の2次式」 ・ 2次直交行列 ・ 「2次正方行列のC-Hの定理」(V001b)（重根の場合）

（内容）2変数の2次式を平行移動の座標変換で簡単にすることを考えます・内積を保つ座標変換（直交変換）・重根を持つ場合に$A^n$を求めるには

演習問題（テキストの第7章の問題） ・ 演習問題解答 ・ 追加問題解答

L07 11/15 CHの定理（続き）・直交行列

Presentation 2次直交行列 ・ 3次直交行列 ・ 「2次正方行列のC-Hの定理」(V001b)（重根の場合）

（内容）2変数の2次式を平行移動の座標変換で簡単にすることを考えます・内積を保つ座標変換（直交変換）・重根を持つ場合に$A^n$を求めるには

演習問題（テキストの第7章の問題） ・ 演習問題解答 ・ 追加問題解答

L08 11/29 直交行列・3次正方行列の対角化

Presentation ・ 3次正方行列の対角化

内容 3次正方行列の対角化について学び始めます。その後で、3次直交行列について学びます。

演習問題（2021年度のL07） 問題 ・ 解答

L09 12/06 直交行列・3次正方行列の対角化

Presentation スペクトル分解（ハンドアウト） ・ 3次正方行列の対角化 ・ 3次直交行列 ・ 3次実対称行列の対角化

内容 3次正方行列の対角化について学びます。特に固有多項式について学びます。続いて3次直交行列について学んだ後に、3次実対称行列の対角化について学びます。

演習問題（2021年度のL07） 問題 ・ 解答

演習問題（2021年度のL09） 問題 ・ 解答

L10 12/13 直交行列・3次実対称行列の対角化

Presentation スペクトル分解（ハンドアウト） ・ 3次直交行列 ・ 3次実対称行列の対角化

内容 3次直交行列について学んだ後に、3次実対称行列の対角化について学びます。

演習 問題 ・ 解答

演習（その2） 問題 ・ 解答

L11 12/20 直交行列・3次実対称行列の対角化

Presentation 3次直交行列 ・ 3次実対称行列の対角化

内容 直交行列について学んだ後に、3次実対称行列の対角化について学びます。

演習 問題 ・ 解答

L12 12/27 3次実対称行列の対角化（2次形式，特に正定値の2次形式）

Presentation 3次実対称行列の対角化 ・ 「3変数の2次形式の正定値性」 ・ C-Hの定理

内容 直交行列について学んだ後に、3次実対称行列の対角化について学びます。時間があればC-Hの定理について学びます．

演習 問題 ・ 解答

L13 01/17 次元・正規直交基底・CHの定理

Presentation 「基底・次元・正規直交基底」 ・ C-Hの定理

内容 次元と基底・正規直交基底について学んだ後に，C-Hの定理について学びます．

L14 01/24 3変数2次形式の正定値性・像の次元

Presentation　 「3変数の2次形式の正定値性」 ・ 「像の基底」 ・ 基底と次元に関する補足

内容 3変数の2次形式が正定値であるための条件・行列の像の基底について学びます

線型代数学（2023年度前期）

Lectures

L01 04/12 ベクトルの演算と内積

概要 Canvasにある教科書のP1からP13について勉強します．

・ Presentation「ベクトルの内積」（2022年度最終版 V03）

・演習問題1.2〜1.20が第1講義の演習問題です．解答

・演習問題1.08の解答修正版

L02 04/20 ベクトルの垂直・平面の方程式・クラメールの公式・ベクトルの平行

概要 Canvasにある教科書のP13からP20について勉強します．ただし，教科書の79ページにあるCramerの公式を用います．

・Presentation 「ベクトルの内積」（L01の続き，P17--P20), 「平面の方程式」 ・「クラメールの公式とベクトルの平行」

・行列式とクラメールの公式の確認問題・解答

・演習問題1.21〜1.23が第2講義の演習問題です．（解答） ・追加演習問題（ 解答）

・教科書演習問題4.1,4.2 解答

L03 04/27 ベクトルの平行・2次正方行列・2次元部分空間・ベクトル積

概要 最初にクラメールの方式で用いた式変形を論理的に説明します．さらに、クラメールの応用として、2本の列ベクトルの平行を定義して、2次小行列式による必要十分条件を与えます．続いて、2次正方行列（正確には2列の行列）を定義して，右から2次元列ベクトルを掛けることを学びます．（2次正方行列の積の性質はL04で解説します．）次に2次元部分空間を定義して，その上の2本のベクトルの平行・非平行について考えます．最後に，2本の3次元列ベクトルに対してベクトル積（外積）を定義します．その幾何学的な性質については，L04で学びます．

・Presentation 「クラメールの公式とベクトルの平行」（L02の続き、10Pから） ・ 2次正方行列 ・ 2次元部分空間・2平面の交わり・ベクトル積 ・ 2次行列式

・演習問題 ・ 解答 ・ 解答（その2）

・別のテキストから

・・（参考） 第3章 座標空間と数ベクトル

・・（参考） 第4章 2次元の座標変換・2次正方行列・2変数の2次形式 （2次正方行列の説明が役に立つかもしれません）

L04 05/10 2次元部分空間・2次正方行列

概要 平行でない2本の列ベクトルの定数倍の和の形のベクトル全体である2次元部分空間について学びます．続いて、2次正方行列（正確には2列の行列）を定義して，右から2次元列ベクトルを掛けることを学びます．さらに回転行列や折り返しの行列など具体的な行列について学びます．最後に2次行列式の性質について学びます．

・Presentation ・ 2次元部分空間・2平面の交わり・ベクトル積（2次元部分空間について） ・ 2次正方行列 ・ 2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影 ・ 2次行列式

・教科書演習問題4.3--4.12 の 解答

・ 追加の演習, 解答

L05 05/17 2次正方行列・2次行列式

概要 前回の小テストを用いて，掃き出し法のアルゴリズムについてもう一度解説します． 2次正方行列の逆行列の定義及び性質と回転行列などについて学びます．続いて，2次行列式の性質を学びます．

・Presentation 2次正方行列（7Pの行列✖️行列から） ・ 2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影 ・ 2次行列式 ・ 2次正方行列ー演算

演習問題 演習問題 ． 解答

L06 05/24 2次正方行列（正則性，回転行列など）・2次行列式

Presentation 行列の積と結合法則（ハンドアウト） ・ 2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影 ・ 2次行列式 ・ 2次正方行列ー演算 ・ 2次元部分空間（ハンドアウト）

演習問題 演習問題 ・ 解答 ・ 掃き出し法の演習問題

L07 05/31 2次正方行列（正則性・回転行列・折り返し）・2次行列式

Presentation 2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影 ・　 2次行列式 ・　 2次正方行列ー演算 ・　 「ベクトルの内積」 ・　 「3次行列式」（その1） ・　 「相関係数」 ・　 2次元部分空間（ハンドアウト）

L08 06/07 2次正方行列（折り返し）・2次行列式

Presentation 2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影」（折り返しのみ） ・　 2次行列式 ・　 2次正方行列ー演算 ・　 「ベクトルの内積」 ・　 「3次行列式」（その1） ・　 「相関係数」 ・　 2次元部分空間（ハンドアウト）

（部分空間に関する演習問題） 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答

（部分空間に関する演習問題（その2）） 教科書の問題（第5章，解答はリンクしてあります）

L09 06/14 2次行列式・3次行列式など

Presentation 2次行列式 ・　 2次正方行列ー演算 ・　 「ベクトルの内積」 ・　 「3次行列式」（その1） ・　 「相関係数」

演習問題（その1） 「3次行列式（確認問題）」 ・ 解答 ・ 「3次行列式（演習問題）」 ・ 解答

演習問題（その2） 確認問題・解答 前半 ・ 後半

L10 06/21 2次行列式・3次行列式・内積など

Presentation 2次行列式（積の公式） ・　 2次正方行列ー演算 ・　 「ベクトルの内積」 ・　 「3次行列式」（その1）（積の公式） ・　 「相関係数」 ・ 「3次行列式」（その2） ・ 「逆行列のクラメールの公式」

演習問題 確認問題・解答 前半 ・ 後半

L11 06/28 3次行列式（逆行列のクラメールの公式）・内積・転置行列など

Presentation ・ 「逆行列のクラメールの公式」 ・ 2次正方行列ー演算 ・　 「ベクトルの内積」 （GSの対角化の残り） ・　 「行列の積と転置行列」 ・ 「転置行列の基本性質」 「相関係数」

・行列の演算については別のテキスト 「行列の演算について」 を用います。（演習を含んでいます。）

L12 07/05 内積・転置行列など

Presentation 2次正方行列ー演算 ・　 「ベクトルの内積」 （GSの対角化の残り） ・　 「行列の積と転置行列」 ・ 「転置行列の基本性質」 ・ グラム行列と直交射影 ・ 「相関係数」

・行列の演算については別のテキスト 「行列の演算について」 を用います。（演習を含んでいます。）

L13 07/12 内積・転置行列など

Presentation 2次正方行列ー演算 ・　 「行列の積と転置行列」 ・ 「転置行列の基本性質」（行列の積の転置） ・ グラム行列と直交射影 （グラム行列の正則性） ・ 「相関係数」

・行列の演算については別のテキスト 「行列の演算について」 を用います。（演習を含んでいます。）