線型代数学確認問題(第09講義, 2021年12月08日） LA2021WL09

I

$A= \begin{pmatrix} 3&-1&-2\\ -1&3&2\\ -2&2&6 \end{pmatrix}$ を対角化しましょう。

[解答ビデオ]

II

$A= \begin{pmatrix} 6&-3&-7\\ -1&2&1\\ 5&-3&-6 \end{pmatrix}$ に対して以下を示しましょう。

(1)$\Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-2)$

(2)$V(-1)\oplus V(1)\oplus V(2)=\mathbf{K}^3$

(3)各固有空間$V(\alpha)$に対して$\mathbf{K}^3$から$V(\alpha)$への射影を$A$で表しましょう。

[解答ビデオ(1)]・ [解答ビデオ(2)]・ [解答ビデオ(3)]

III

$A= \begin{pmatrix} 4&4&-2\\ 4&4&-2\\ -2&-2&1 \end{pmatrix}$ を対角化しましょう。

[解答ビデオ]

IV

$A= \begin{pmatrix} 2&1&1\\1&2&1\\1&1&2 \end{pmatrix}$ とします。

(1) $A$の固有ベクトルを求めましょう。

(2) $A$のスペクトル分解を求めましょう。すなわち$\mathbf{K}^3$を$A$の固有空間の直和に表しましょう。

(3) (2) で求めたスペクトル分解において各固有空間への射影を$A$で表しましょう。

[解答ビデオ]