線型代数学確認問題 第10講 2021/12/15 LA2021WL10
- I
- 教科書第8章にある
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&1&3\\
3&3&6
\end{pmatrix}
$$
によって$\mathbf{K}^3$を
$$
\mathbf{K}^3=V(-1)\oplus V(0)\oplus V(9)
$$
とスペクトル分解します。任意の$\vec v\in\mathbf{K}^3$に対してこの分解に応じて
$$
\vec v=\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3
$$
と分解するとき
$$
P_j\vec v=v_j\quad (j=1,2,3)
$$
と$P_j\in M_3(\mathbf{K})$を用いて表されました。このとき
$$
P_1+P_2+P_3=I_3,\ P_j^2=P_j\ (j=1,2,3),\ P_iP_j=O_3\ (i\not=j)
$$
が成立することを示しましょう。ただし
固有多項式が
\begin{equation*}
\Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha_1)(\lambda-\alpha_2)(\lambda-\alpha_3)
\end{equation*}
と因数分解されるときにC-Hの定理によって
\begin{equation*}
\Phi_A(A)=(A-\alpha_1I_3)(A-\alpha_2I_3)(A-\alpha_3I_3)=O_3
\end{equation*}
が成立することは用いて構いません。また具体的に$P_j$を求めて示しましょう。
- [解答ビデオ],
[解答PDF]
- II
- 以下の対称行列$A$を直交行列で対角化して$A$が定める2次形式を
対応する直交座標変換で簡単にしましょう．
(1)
$A=
\begin{pmatrix}
3&-1&-2\\
-1&3&2\\
-2&2&6
\end{pmatrix}$
(2)
$A=
\begin{pmatrix}
5&4&-2\\
4&5&-2\\
-2&-2&2
\end{pmatrix}$
(3)
$A=
\begin{pmatrix}
3&-1&-1\\
-1&1&-1\\
-1&-1&3
\end{pmatrix}$
(4)
$A=
\begin{pmatrix}
3&-1&2\\
-1&6&-1\\
2&-1&3
\end{pmatrix}$
(5)
$A=
\begin{pmatrix}
4&-2&2\\
-2&1&4\\
2&4&1
\end{pmatrix}$
- 解答ビデオ
(1),
(2),
(3),
(4),
(5)
- III
- $A=
\begin{pmatrix}
15&-5&-6\\5&-2&-3\\27&-9&-10
\end{pmatrix}$
とします。以下では
$$
\Phi_A(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda+1)
$$
であることを用いても構いません。$A$が対角化できないことを示しましょう。
- [解答ビデオ],
[解答PDF]
- IV
- $P\in M_n(\mathbf{R})$に対して
$$
(P\vec v,P\vec w)=(\vec v,\vec w)\quad (\vec v,\vec w\in \mathbf{R}^n)
$$
と
$$
||P\vec v||=||\vec v||\quad (\vec v\in\mathbf{R}^n)
$$
が必要十分であることを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- 3次の直交行列の全体を$O(3)$とします．
$P_1,P_2\in O(3)$ならば$P_1P_2\in O(3)$, ${}^tP_1\in O(3)$であることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- VI
- $A\in M_3(\mathbf{R})$は対称とします。$A$が定める2次形式は正定値、すなわち
$$
(A\vec x,\vec x)>0\quad (\vec x\not=\vec 0)
$$
が成立するとします。
- (i)
$A$が正則であることを示しましょう。
- (2)
$A^{-1}$が対称であることを示しましょう。
- (3)
$A^{-1}$が定める2次形式が正定値であること、すなわち
$$
(A^{-1}\vec x,\vec x)>0\quad (\vec x\not=\vec 0)
$$
であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- [参考ビデオ]（2014年度収録）
- VII
- $A\in M_{m,3}(\mathbf{R})$とします。すなわち$A$が$m\times 3$型の行列とします。$A=(\vec a\ \vec b\ \vec c)$と列ベクトル表示をします。また$B={}^tAA$と定めます。
- (i) $B$が非負定値であること、すなわち
$$
(B\vec x,\vec x)\geq 0\quad (\vec x\in \mathbf{R}^3)
$$
が成立することを示しましょう。
- (2)
$B$が正定値であることと$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$が線型独立であることが必要十分であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VIII
- $B\in M_{3}(\mathbf{R})$は
対称
とします。
- (1) $B$が非負定値であることと$B$の固有値$\alpha,\beta,\gamma$が
$$
\alpha,\beta,\gamma\geq 0
$$
であることが必要十分であることを示しましょう。
- (2) $B$が非負定値であるとき$B$が正定値であることと$\det(B)>0$が必要十分であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IX
-
$\mathbf{R}^3$中の部分空間
$$
V_1=\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3;
x-y+z=0\}
$$
$$
V_2=\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3;
x+y+z=0\}
$$
を考えます。$V_1$に関する鏡映を$Q_1$, $V_2$に関する鏡映を$Q_2$として
$$
R=Q_1Q_2
$$
を考えます。
- (1)等式
$$
R\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
=
\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
$$
を示しましょう。
- (2)
$\vec p_1=\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
$を含む$\mathbf{R}^3$の正規直交基底を求めましょう。（以下$\vec p_1, \vec
p_2, \vec p_3$とします。）
- (3)
$P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$として、座
標変換
$$
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=P\begin{pmatrix}\xi\\\eta\\\zeta\end{pmatrix}$$を用いて$R$を表しましょう。
- [解答ビデオ]
- X
- (1)
$\vec f_1=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
を含む$\mathbf{R}^3$の基底$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3$で
$$
\det(\vec f_1\ \vec f_2\ \vec f_3)=1
$$
を満たすものを求めましょう。
- (2)
$\vec f_1$を軸として$\frac {\pi}3$回転する行
列を求めましょう。すなわち基底$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3$で表現すると
$$
\begin{pmatrix}
1&0&0\\0&\frac 12&-\frac {\sqrt 3}2\\0&\frac {\sqrt 3}2&\frac 12
\end{pmatrix}
$$
となる行列を求めましょう。
- [解答ビデオ]