線型代数学確認問題(第11講義, 2021年12月22日 LA2021WL11_1222）
- I
- (1)
$\vec p_1,\vec p_2,\vec p_3\in\mathbf{R}^n$が正規直交系であることと
${}^tPP=I_3$を満たすこととが必要十分であることを示しましょう．
- (2)
$\vec p_1,\vec p_2,\vec p_3\in\mathbf{R}^n$が正規直交系であると
します．$3$次正方行列$R$に対して
\begin{equation*}
(\vec q_1\ \vec q_2\ \vec q_3)=
(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)R
\end{equation*}
として$\vec q_j\in\mathbf{R}^n\ (j=1,2,3)$を定めると
\begin{equation*}
R\ \text{が直交行列}\ \Leftrightarrow\
\vec q_1,\vec q_2,\vec q_3\ \text{が正規直交系}
\end{equation*}
であることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- II
- (1)
$
\begin{pmatrix}
\alpha&0&0\\
0&p&q\\
0&r&s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\beta&0&0\\
0&x&y\\
0&z&w
\end{pmatrix}
$
を計算して$A,B\in M_2(\mathbf{R})$に対して
$
\left(
\begin{array}{cc}
\alpha&
\begin{array}{cc}
0&0
\end{array}\\
\begin{array}{c}
0\\0
\end{array}
&A
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
\beta&
\begin{array}{cc}
0&0
\end{array}\\
\begin{array}{c}
0\\0
\end{array}
&B
\end{array}
\right)
$
を求めましょう．
- (2)
$
{}^t
\begin{pmatrix}
\alpha&0&0\\
0&p&q\\
0&r&s
\end{pmatrix}
$
を計算して
$A\in M_2(\mathbf{R})$に対して
$
{}^t
\left(
\begin{array}{cc}
\alpha&
\begin{array}{cc}
0&0
\end{array}\\
\begin{array}{c}
0\\0
\end{array}
&A
\end{array}
\right)
$
を求めましょう．
- (3)
$2$次正方行列$R\in M_2(\mathbf{R}$が回転行列（より一般には
直交行列）とします．このとき
$
\left(
\begin{array}{cc}
1&
\begin{array}{cc}
0&0
\end{array}\\
\begin{array}{c}
0\\0
\end{array}
&R
\end{array}
\right)
$
が直交行列であることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- III
- $A\in M_3(\mathbf{R})$が対称とします．
- (1)
$A\vec v=\alpha\vec v$, $(\vec v,\vec w)=0$ならば
$(\vec v,A\vec w)=0$が$\vec v,\vec w\in\mathbf{R}^3$,
$\alpha\in\mathbf{R}$に対して成立することを示しましょう．
- (2)
$\vec q_1,\vec q_2,\vec q_3\in\mathbf{R}^3$が正規直交系とします．
$A\vec q_1=\alpha\vec q_1$が成立するとき
\begin{equation*}
A(\vec q_1\ \vec q_2\ \vec q_3)
=
(\vec q_1\ \vec q_2\ \vec q_3)
\begin{pmatrix}
\alpha&0&0\\
0&a&c\\
0&c&b
\end{pmatrix}
\end{equation*}
と$a,b,c\in\mathbf{R}$を用いて表されることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- IV
- $A\in M_3(\mathbf{R})$が対称とします．
- (1)
\begin{equation*}
\left(
A
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\right)\geq 0
\quad
\left(
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\in\mathbf{R}^3
\right)
\Leftrightarrow
A\text{の固有値}\alpha,\beta,\gamma\geq 0
\end{equation*}
であることを示しましょう．
- (2)
\begin{equation*}
\left(
A
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\right)\geq 0
\quad
\left(
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\in\mathbf{R}^3
\right)
\end{equation*}
ならば
\begin{equation*}
a_{11},a_{22},a_{33}\geq 0,\quad
|A_2|\geq 0,\quad |A|\geq 0
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- 解答ビデオ
- V
- 以下の2次形式が正定値となる$a\in\mathbf{R}$の条件を求めましょう．
- (1)
$x^2+3y^2+2z^2+2axy+4axz+2yz$
- (2)
$x^2+y^2+z^2+2a(xy+yz+zx)$
- 解答ビデオ(1),
(2)
- VI
-
以下では、実対称行列$A\in M_2(\mathbf{R})$
に対して
\begin{eqnarray*}
(A\vec x,\vec x)\geq 0 (\vec x\in \mathbf{R}^2)&\Leftrightarrow& A
\text{の固有値}\alpha,\beta\geq 0\\
&\Leftrightarrow& A=\begin{pmatrix} a&c\\c&b\end{pmatrix}\text{のとき} a,b\geq 0,|A|\geq 0
\end{eqnarray*}
であることを用います。$m\times 2$行列$B=(\vec a\ \vec b)$に対し
て不等式
$$
|(\vec a,\vec b)|
\leq ||\vec a||\cdot ||\vec b||
$$
が成立することを示しましょう。さらに不等式の等号成立条件を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- $\mathbf{R}^4$の部分空間
$$
V:=
\left\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix};\
\left(
\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}
\right)=0
\right\}
$$
を定めます。そして$V$の基底を
$$
\vec q_1=
\left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\\1\end{smallmatrix}\right),\quad
\vec q_2=
\left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\\1\end{smallmatrix}\right),\quad
\vec q_3=
\left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\\1\end{smallmatrix}\right),\quad
$$
と取ります。
- (1) $V_2=\mathbf{R}\vec q_1+\mathbf{R}\vec q_2$の正規直交基底基底を求めましょう。
- (2) $\vec q_2$の$V_2$への直交射影を求めて、$V$の正規直交基底を求めましょう。
- [解答ビデオ](1)・(2)
- VIII
- $\vec q_1:=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$とします。
$$
V:=\{\vec v\in \mathbf{R}^3;\ (\vec v,\vec q_1)=0\}
$$
と2次元の部分空間を定めます。このとき$\vec x\in\mathbf{R}^3$の$V$への正射影$P\vec x$は
$$
P\vec x\in V,\quad \vec x-P\vec x\perp \vec q_1
$$
で定まります。
- (1) $P$を行列で表しましょう。
- (2)$V$に関する鏡映
$$
Q\vec x=\vec x+2(P\vec x-\vec x)
$$
で定まる$Q$を行列で表しましょう。
- [解答ビデオ(1)]
・
[解答ビデオ(2)]
- IX
- 3次の直交群
$$
O(3):=\{P\in M_3(\mathbf{R});\ {}^tPP=P{}^tP=I_3\}
$$
に対して以下を示しましょう。
- (1)$P_1, P_2\in O(3)$ならば$P_1P_2\in O(3)$を示しましょう。
- (2)$P\in O(3)$ならば${}^tP\in O(3)$を示しましょう。
- [解答ビデオ]