2022年度線形代数 SL02補足演習問題(2022年4月20日）
- I
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-3\\4
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\-1\\-1\\1
\end{pmatrix}
$$
に対して$||\vec a-t\vec b||^2$を最小にする$t$を求めましょう．
- [解答ビデオ]
- II（教科書演習1.20の補足）
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\-1\\-1
\end{pmatrix},\
\vec g=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}
$$
とします．
- (1) $(\vec a,\vec b)=0$であることを示しましょう．
- (2) $||\vec g-x\vec a-y\vec b||^2$を最小にする$x,y$を求めましょう．
- [解答ビデオ]
- III
-
次の$3$点を通る平面の方程式を求めましょう．
- (1) $(0,0,0)$, $(1,2,3)$, $(4,5,6)$
- (2) $(2,0,0)$, $(0,3,0)$, $(0,0,4)$
- (3) (1,2,3), (-1,-1,0), (2,-3,5)
- [解答ビデオ]
- IV
-
$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^n$は平行でないとします：
\begin{equation*}
\vec a\nparallel\vec b
\end{equation*}
このとき
\begin{equation*}
\vec \alpha=x\vec a+y\vec b,\quad
\vec \beta=z\vec a+w\vec b
\end{equation*}
とするとき
\begin{equation*}
\vec \alpha\nparallel\vec \beta
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{vmatrix}
x&z\\
y&w
\end{vmatrix}
\not=0
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- 解答ビデオ
- V
- $\vec x,\vec y\in\mathbf{R}^n$とします．
- (1)
\begin{equation*}
\vec x\nparallel \vec y\quad\Leftrightarrow\quad
\vec x\nparallel \lambda\vec x+\vec y
\end{equation*}
を示しましょう．
- (2) $\vec x$の第1成分が$x_1\not=0$を満たすとします．
(1)を$\lambda=-\frac {y_1}{x_1}$で適用することによって
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x_i&y_i\\
x_j&y_j
\end{vmatrix}
=0
\end{equation*}
が
$i\not=j$
を満たすすべての$i,j$に対して成立ならば
\begin{equation*}
\vec x\parallel\vec y
\end{equation*}
が従うことを証明しましょう．
- 解答ビデオ(1)
- 解答ビデオ(2)
- VI
-
$a,b,c\in\mathbf{R}$は相異なる実数とします．このとき3点
\begin{equation}
(a,\alpha),\quad (b,\beta),\quad (c,\gamma)
\end{equation}
を通る放物線
\begin{equation}
y=Ax^2+Bx+C
\end{equation}
を求めましょう．ここではクラメールの公式を用いて$A,B,C$を求めましょう．
- 解答ビデオ
- VII
-
$\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix}
\not=\vec 0
$
とします．平面
$$
ax+by+cz+q=0
$$
と点$(x_0,y_0,z_0)$の距離$\delta$は
$$
\delta=
\frac{|ax_0+by_0+cz_0+q|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
$$
となることを示しましょう．
-
[解答ビデオ]
・
[解答PDF]