「線形代数」
第4章演習問題
- 演習問題4.1
-
$y$ に関する公式(4.3)
\begin{equation*}
y=
\frac
{
\begin{vmatrix}
a&\alpha_1\\
c&\alpha_2
\end{vmatrix}
}
{
\begin{vmatrix}
a&b\\
c&d
\end{vmatrix}
}
\end{equation*}
を導いてください．
- 演習問題4.2
-
次の行列式を計算しましょう．
(1)
$
\begin{vmatrix}
1&0\\
\lambda&1
\end{vmatrix}
$
(2)
$
\begin{vmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{vmatrix}
$
(3)
$
\begin{vmatrix}
\lambda&0\\0&1
\end{vmatrix}
$
(4)
$
\begin{vmatrix}
0&1\\
1&0
\end{vmatrix}
$
(5)
$\begin{vmatrix}
a&c\\
0&b
\end{vmatrix}
$
(6)
$
\begin{vmatrix}
a&0\\
c&b
\end{vmatrix}
$
- 演習問題4.3
-
上の定理4.1の(ii)と(ii)'を証明してください．
ただし(ii)'は(ii)を用いて証明してください．
- 演習問題4.4
-
定理4.2の(ii)を証明してください．これに加えて
定理4.2の(ii)を用いて定理4.1の列に関する性質から
$$
\det\left(
\begin{array}{c}
\lambda\mathbf{a}+\mu\mathbf{b}\\ \mathbf{c}
\end{array}
\right)
=\lambda
\det\left(
\begin{array}{c}
\mathbf{a}\\ \mathbf{c}
\end{array}
\right)
+
\mu
\det\left(
\begin{array}{c}
\mathbf{b}\\ \mathbf{c}
\end{array}
\right)
$$
$$
\det\left(
\begin{array}{c}
\mathbf{a}\\
\lambda\mathbf{b}+\mu\mathbf{c}
\end{array}
\right)
=\lambda
\det\left(
\begin{array}{c}
\mathbf{a}\\ \mathbf{b}
\end{array}
\right)
+
\mu
\det\left(
\begin{array}{c}
\mathbf{a}\\ \mathbf{c}
\end{array}
\right)
$$
$$
\det\left(
\begin{array}{c}
\mathbf{a}\\ \mathbf{b}
\end{array}
\right)
=
-\det\left(
\begin{array}{c}
\mathbf{b}\\ \mathbf{a}
\end{array}
\right)
$$
を導いてください．
- 演習問題4.5
-
行列式の値が$0$となる$\lambda$の値を求めましょう．
(1)
$
\begin{vmatrix}
\lambda-5&-2\\-2&\lambda-2
\end{vmatrix}$
(2)
$
\begin{vmatrix}
\lambda-4&-1\\-2&\lambda-3
\end{vmatrix}$
- 演習問題4.6
-
補助定理4.2を証明して，(4.6)を示しましょう．
- 演習問題4.7
-
$a_1=0,\ a_2\not=0$の場合に(4.10)
\begin{equation*}
\det({}^tA)=\det(A)
\end{equation*}
を証明しましょう．
- 演習問題4.8
-
次の行列式の値を求めましょう．
(1)
$
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9
\end{vmatrix}
$
(2)
$
\begin{vmatrix}
2&-1&-3\\
1&1&1\\
4&5&6
\end{vmatrix}
$
(3)
$
\begin{vmatrix}
2&4&6\\
0&2&3\\
1&4&9
\end{vmatrix}
$
(4)
$
\begin{vmatrix}
1&a&a^2\\
1&b&b^2\\
1&c&c^2
\end{vmatrix}
$
- ビデオ解説
- 解答PDF
- 演習4.9（教科書98p）
-
（教科書97ページにおいて）
$a_1\times\mbox{(III)}-a_2\times\mbox{(II)}+a_3\times\mbox{(I)}$を計算して
定理4.5の$y$の公式
\begin{equation*}
y=
\frac 1D
\begin{pmatrix}
a_1&\alpha_1&c_1\\
a_2&\alpha_2&c_2\\
a_3&\alpha_3&c_3
\end{pmatrix}
\end{equation*}
を導いてください．
- ビデオ解説
- 解答PDF
- 演習4.10（教科書98p）
-
次の連立$1$次方程式をクラメールの公式を用いて解きましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
2&-2&4\\
2&3&2\\
-1&1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
2&1&2\\
0&1&-1\\
2&3&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\1
\end{pmatrix}
$
- ビデオ解説
- 解答PDF
- 演習4.11（教科書100p）
- ベクトルの外積について以下の性質が成立することを示しましょう．
(1)
$\vec a\times \vec b=-\vec b\times \vec a$, $\vec a\times \vec
a=\vec 0$
(2)
$(\vec a+\vec b)\times\vec c=\vec a\times \vec c+\vec b\times \vec c$
- ビデオ解説
- 解答PDF
- 演習4.12（教科書100p）
-
\begin{equation*}
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\0
\end{pmatrix},
\vec b=
\begin{pmatrix}
0\\1\\-1
\end{pmatrix},
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
\end{equation*}
に対して，以下を求めましょう．
(1)
$\vec a$と$\vec b$が張る平行四辺形の面積．
(2)
$\vec a$と$\vec b$に直交する単位ベクトル．
(3)
$\vec a$と$\vec b$, $\vec c$が張る平行六面体の体積．
- ビデオ解説
- 解答PDF