「線形代数」
第1章演習問題
- 演習1.01（教科書 2p）
-
次のベクトルの計算をしましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
１\\2\\-3
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3\\-6\\8
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
3\\2\\-4
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
5\\-7\\-9
\end{pmatrix}
$
(3)
$
3
\begin{pmatrix}
1\\-2\\4
\end{pmatrix}
$
(4)
$
0
\begin{pmatrix}
1\\-2\\4
\end{pmatrix}
$
(5)
$
6
\begin{pmatrix}
1\\-2\\4
\end{pmatrix}
+
(-4)
\begin{pmatrix}
3\\3\\-5
\end{pmatrix}
$
(6)
$
9
\begin{pmatrix}
2\\-2\\-3
\end{pmatrix}
-
6
\begin{pmatrix}
1\\3\\-7
\end{pmatrix}
$
(7)
$
3
\begin{pmatrix}
2\\-2\\-3
\end{pmatrix}
+
(-3)
\begin{pmatrix}
2\\-2\\-3
\end{pmatrix}
$
- 演習1.02（教科書 2p）
-
$4$次元ベクトル
$
\vec x=
\begin{pmatrix}
1\\-5\\3\\2
\end{pmatrix}
$
に対して，第$2$成分と第$3$成分が何か答えましょう．
- 演習1.03（教科書 3p）
-
(1.3)の残りの公式
\begin{equation*}
\vec{x}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{x}=\vec{x},\quad 0\cdot\vec{x}=\vec{0}
\end{equation*}
を証明しましょう．
- 演習1.04（教科書 3p）
-
(1.4)すなわち
\begin{equation*}
\vec x-\vec y=\vec x+(-\vec y)
\end{equation*}
を証明しましょう．
- 演習1.05（教科書 4p）
-
定理1.1の(2)すなわち
$\vec a,\ \vec b\in\mathbf{R}^n$と
$\lambda,\mu\in\mathbf{R}$に対して
\begin{equation*}
\lambda\left(\mu\vec a\right)=(\lambda\mu)\vec a
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left(\lambda+\mu\right)\vec a=
\lambda\vec a+\mu\vec a
\end{equation*}
\begin{equation*}
\lambda(\vec a+\vec b)=\lambda\vec a+\lambda\vec b
\end{equation*}
- 演習1.06（教科書 5p）
-
$\vec a=
\begin{pmatrix}
2\\-1\\3
\end{pmatrix}
$
を$\vec e_1,\ \vec e_2,\ \vec e_3\in\mathbf{R}^3$のスカラー倍の和で
表しましょう．
- 演習1.07（教科書 5p）
-
$\vec a,\ \vec b\in \mathbf R^n$に対して次の計算をしましょう．
(1) $(2\vec a-\vec b)+4\vec a-2\vec b$
(2) $3(2\vec a+\vec b)-2(4\vec a-2\vec b)$
- 演習1.08（教科書 5p）
-
$\vec x,\ \vec y,\ \vec z,\ \vec a,\ \vec b,\ \vec c\in\mathbf{R}^n$
が関係式
$$
\left\{
%\begin{array}{lcl}
\begin{aligned}
\vec x-\vec y+2\vec z&=\vec a \\
2\vec x+\vec y-\vec z&=\vec b \\
3\vec x-2\vec y+ \vec z&=\vec c
\end{aligned}
%\end{array}
\right.
$$
満たしているとします．このとき$\vec x,\ \vec y,\ \vec z$
を$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$で表しましょう．
- 演習1.09（教科書 7p）
- (1.16)すなわち
$\mathbf{a},\mathbf{b}\in \left(\mathbf R^n\right)^*$と
$\vec x\in\mathbf R^n$に対して
\begin{equation*}
(\mathbf{a}+\mathbf{b})\vec x=\mathbf{a}\vec x+\mathbf{b}\vec x,\quad
(\lambda\mathbf{a})\vec x=\lambda (\mathbf{a}\vec x)
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- 演習1.10（教科書 8p）
-
$\mathbf{a}\in\left(\mathbf{R}^n\right)^*$とします．
$$
\Phi_{\mathbf{a}}(\vec x)=0
$$
がすべての$\vec x\in\mathbf{R}^n$に対して成立するならば
$\mathbf{a}=\mathbf 0:=
\begin{pmatrix}
0&\cdots&0
\end{pmatrix}
$
が成立することを示しましょう．
- 演習1.11（教科書 9p）
-
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\ -2\\ 3\end{pmatrix}
$と
$\vec w=
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
$
に対して${}^t\vec a\cdot\vec w$を計算しましょう．
- 演習1.12（教科書 9p）
-
$\vec a_1,\ \cdots,\ \vec a_\ell\in\mathbf{R}^n$と
$c_1,\ \cdots,\ c_\ell\in\mathbf{R}$に対して
\begin{equation}\label{eq:transvect0001}
{}^t
\left(
c_1\vec a_1+\cdots+c_\ell\vec a_\ell
\right)
=c_1{}^t\vec a_1+\cdots+c_\ell{}^t\vec a_\ell
\end{equation}
を証明しましょう．
- 演習1.13（教科書 10p）
-
$4$次元ベクトル
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\-2\\3\\2
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\5\\-1\\0
\end{pmatrix},\
\vec c=
\begin{pmatrix}
6\\-1\\-3\\1
\end{pmatrix}
$$
に対して$(\vec a,\vec b),\ (\vec b,\vec c),\ (\vec c,\vec a)$を計算
しましょう．次に$\|\vec a\|,\ \|\vec b\|,\ \|\vec c\|$を計算しましょう．
- 演習1.14（教科書 12p）
-
(1.27)すなわち非負の実数$A_1,\ \cdots,\ A_n\geq 0$に対して
\begin{equation}\label{eqadd0001}
A_1+A_2+\cdots+A_n=0\Longrightarrow A_1=A_2=\cdots=A_n=0
\end{equation}
が成立することを$n=2$に対して示しましょう．一般の$n$
の場合を数学的帰納法により証明しましょう．
- 演習1.15（教科書 12p）
-
大きさが$1$のベクトルを単位ベクトルと呼びます．
$\vec x\in\mathbf{R}^n$が$\vec x\not=\vec 0$であるとき
$\vec x_0=\dfrac 1{||\vec x||}\vec x$
が単位ベクトルとなることを証明しましょう．
- 演習1.16（教科書 12p）
-
$\vec a={}^t(1\ -1\ 3),\ \vec b={}^t(2\ 1\ -1)$に対して
$$
f(t)=||\vec b-t\vec a||^2
$$
を考えます．このとき公式(1.28)を用いて$f(t)$の最小値を
求めましょう．
- 演習1.17（教科書 13p）
-
$\vec a,\ \vec b,\ \vec c\in\mathbf{R}^n$に対して
$$
\|\ \vec a+\vec b+\vec c\ \|^2=
\|\;\vec a\;\|^2+\|\;\vec b\;\|^2+\|\;\vec c\;\|^2+
2(\vec a,\vec b)+2(\vec b,\vec c)+2(\vec c,\vec a)
$$
を示しましょう．
- [解答ビデオ]
- 演習1.18（教科書 13p）
-
$\vec a, \vec b, \vec c\in \mathbf{R}^n$とします．
$
\vec a\perp \vec b,\ \mbox{かつ}\ \vec a\perp \vec c
$
ならば
$$
\vec a\perp (\lambda\vec b+\mu\vec c)
$$
が成立することを示しましょう．
- 演習1.19（教科書13p）
-
$\vec a\in\mathbf{R}^n$がすべての$\vec x\in\mathbf{R}^n$に対して垂直，すなわち
$$
(\vec a,\vec x)=0\quad (\vec x\in\mathbf{R}^n)
$$
が成立するとします．このとき$\vec a=\vec 0$となることを示しましょう．
- 解答ビデオ,
解答PDF
- 演習1.20（教科書 13p）
-
$\vec f_1,\ \vec f_2,\ \vec f_3\in\mathbf{R}^n$が
$$
(\vec f_i,\vec f_j)=
\begin{cases}
1&(i=j)\\0&(i\not=j)
\end{cases}
$$
を満たすとします．このとき$\vec f_1,\ \vec f_2,\ \vec f_3$
は正規直交系であるといいます．
(1)
$
||x\vec f_1+y\vec f_2||^2=x^2+y^2
$
,
$
||x\vec f_1+y\vec f_2+z\vec f_3||^2=x^2+y^2+z^2
$
を示しましょう．
(2)
$\vec g\in\mathbf R^n$に対して
$
||\vec g-x\vec f_1-y\vec f_2||^2=||\vec g||^2+x^2+y^2
-2x(\vec g,\vec f_1)-2y(\vec g,\vec f_2)
$,
$$
||\vec g-x\vec f_1-y\vec f_2-z\vec f_3||^2=||\vec g||^2+x^2+y^2+z^2
-2x(\vec g,\vec f_1)-2y(\vec g,\vec f_2)
-2z(\vec g,\vec f_3)
$$
を示しましょう．
- [解答ビデオ]
- 演習1.21（教科書14p）
-
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\-2\\-4
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\-4\\\mu
\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3
$
に対して，$\vec a$と$\vec b$が平行であるとき$\mu$を求めましょう．
(2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\-3\\-4
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\-4\\\mu
\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3
$
に対して，$\vec a$と$\vec b$は平行とならないことを示しましょう．
- 演習1.22（教科書14p）
-
$\vec a,\ \vec 0\in\mathbf{R}^n$は常に平行であることを証明しましょう．
- 演習1.23（教科書14p）
-
$\vec x,\ \vec y\in\mathbf R^n$が平行でないとします．このとき次を
示しましょう．
\begin{equation*}
\vec x\nparallel (\lambda\vec x+\vec y),\quad
(\vec x+\vec y)\nparallel (\vec x-\vec y)
\end{equation*}
- 解答ビデオ
- 解答ビデオ(2018版）
- 解答ビデオ(2018版）（解説）
- 演習1.24（教科書14p）
- 次のベクトル$\vec a$と$\vec b$に対して，$\vec b$の$\vec a$方向の
正射影を求めましょう．
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}
$
(2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\2\\1
\end{pmatrix}
$
(3)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1\\1
\end{pmatrix}
$
- 演習1.25（教科書23p）
-
$\vec a,\ \vec b\in\mathbf{R}^n$は平行でないとして，
$\vec p,\ \vec q\in L(\vec a,\vec b)$を
$$
\vec p=c_1\vec a+d_1\vec b,\quad
\vec q=c_2\vec a+d_2\vec b
$$
と定めます．ここで
$
\Delta:=c_1d_2-c_2d_1\not=0
$
と仮定します．
(1)
等式
$
\vec a=\dfrac 1{\Delta}(d_2\vec p-d_1\vec q),\
\vec b=\dfrac 1{\Delta}(-c_2\vec p+c_1\vec q)
$
を示しましょう．
(2)
$L(\vec a,\vec b)=L(\vec p,\vec q)$ を
示しましょう．
(3)
$x\vec a+y\vec b=s\vec p+t\vec q$であるとき
$$
%\left\{
%\begin{array}{ccl}
s= \frac 1{\Delta}(xd_2-yc_2),\qquad
t= \frac 1{\Delta}(-xd_1+yc_1)
%\end{array}
%\right.
$$
と座標変換の公式が得られることを示しましょう．
- 演習1.26（教科書25p）
-
演習1.24(3)の$\vec a$と$\vec b$を考えます．
$\vec g={}^t(1\ 0\ 0\ 0)$に対して$\vec g$の$L(\vec a,\vec b)$
への正射影（直交射影）ベクトル$\vec v_0$を求めましょう．