線形代数2021 SL03問題(2022年04月27日）
- I
- (1)
$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b\not=\vec 0$であるとき，
$\vec a,\vec b$が作る平行四辺形の面積は
$$||\vec a\times \vec b||$$
であることを示しましょう．また
$$
(\vec a\times \vec b,\vec a)=
(\vec a\times \vec b,\vec b)=0
$$
であることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- (2)
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b,\vec c\not=\vec 0$であるとき，
$\vec a,\vec b,\vec c$が作る平行四面体の体積は
$$|(\vec a\times \vec b,\vec c)|$$
であることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- II
- $\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．このとき
$$
\vec a\times \vec b=-\vec b\times \vec a,\ \vec a\times \vec a=\vec 0
$$
$$
(\vec a+\vec b)\times \vec c=
\vec a\times \vec c+\vec b\times \vec c
$$
が成立することを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- III
-
直線$\ell_1$
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x+y+z+1=0\\3x-2y+z+5=0
\end{array}
\right.
$$
直線$\ell_2$
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x-z+1=0\\3x+2y-z+2=0
\end{array}
\right.
$$
があります．原点を通り直線$\ell_1$, $\ell_2$に交わる直線を求めましょう．
- [解答ビデオ]
- IV
-
次の行列の積を計算しましょう．
(1)
$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\beta&-\sin\beta\\
\sin\beta&\cos\beta
\end{pmatrix}
$
(2)
$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
\sin\alpha&-\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
\sin\alpha&-\cos\alpha
\end{pmatrix}
$
(3)
$\begin{pmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$
(4)
$\begin{pmatrix}
1&0\\
\lambda&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$
(5)
$\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$
(6)
$\begin{pmatrix}
\lambda&0\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$
(7)
$\begin{pmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&\mu\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(8)
$\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
$
(9)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(10)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lambda&0\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(11)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ(1)+(2)
・
解答ビデオ(3)--(11)
- V
-
$A=
\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}
$
に対してその転置行列を
${}^tA=
\begin{pmatrix}
a&c\\b&d
\end{pmatrix}
$
によって定義します。
$\vec v, \vec w\in\mathbf{R}^2$に対して
$$
(A\vec v,\vec w)=(\vec v,{}^tA\vec w)
$$
が成立することを示しましょう。
- 解答ビデオ
- 解答PDF
- VI
- (1)座標変換
$$
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\xi\\\eta
\end{pmatrix}
$$
によって
$$
z=x^2+xy+y^2-x-2y
$$
を$\xi$, $\eta$で表しましょう。
-
(2) (1)を用いて$z$の最小値を求めましょう。
- 解答ビデオ
- VII
- 2次正方行列$A=(\vec a_1\ \vec a_2)$が
$$
A\vec x=\vec 0\quad (\vec x\in\mathbf{R}^2)
$$
を満たすとします．このとき$A=O_2$となることを示しましょう．
Hint:標準単位ベクトル
$
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}
$
を$\vec x$として考えましょう．
- VIII
- 次の行列の積を求めましょう．
(1)
$\begin{pmatrix}
a_1&c_1\\
0&b_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_2&c_2\\
0&b_2
\end{pmatrix}
$
(2)
$\begin{pmatrix}
a_1&0\\
c_1&b_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_2&0\\
c_2&b_2
\end{pmatrix}
$
(3)
$\begin{pmatrix}
a_1&0\\
0&b_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_2&0\\
0&b_2
\end{pmatrix}
$
- IX
- 以下のベクトルの外積を計算しましょう．
- (1)
$
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
2\\-1\\1
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
1\\2\\1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
3\\1\\1
\end{pmatrix}
$
(3)
$
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}
$
- X
-
以下の$\vec a$, $\vec b$に対して$\vec b$の$\vec a$方向への直交射影を求めましょう．
-
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}
$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\1\\0
\end{pmatrix}
$
(2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}
$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1\\1
\end{pmatrix}
$
(3)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}
$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\2\\1
\end{pmatrix}
$
- XI
- 以下の計算をしましょう．
- (i)
$
\begin{pmatrix}
2&-1\\-1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1&2\\3&1
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
2&-1\\-1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2&-1\\-1&2
\end{pmatrix}
$
- (ii)
$
\begin{pmatrix}
1&2\\1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2&1\\3&2
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
1&2\\1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3&1\\2&2
\end{pmatrix}
$
(iii)
$
\begin{pmatrix}
2&1\\3&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&2\\1&2
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
1&2\\1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3&1\\2&2
\end{pmatrix}
$