線型代数学演習問題(Lec06, 2021年05月19日）
- I
-
次の$\vec a, \vec b\in\mathbf{R}^n$に対して
$$
L=\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}
$$
を考えます．条件
$$
||\vec p||=||\vec q||=1,\ (\vec p,\vec q)=0
$$
を満たす$\vec p,\vec q\in L$を求めましょう．
-
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}$
(2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\2\\1
\end{pmatrix}$
(3)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1\\1
\end{pmatrix}$
(4)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\2\\1
\end{pmatrix}$
- II（Iの続き）
- Iの$\vec p,\vec q$を用いて、次の$\vec c$の$L$への直交射影$\vec v_0$を求めて、さらに
$$
\vec v_0=x\vec a+y\vec b
$$
を満たす$x,y$を求めましょう．
-
(1)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(2)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(3)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
1\\0\\0\\0
\end{pmatrix}$
(4)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\1
\end{pmatrix}$
- III
- $R\in M_2(\mathbf{R})$が回転行列ならば$R^{-1}={}^tR$であることを示しましょう．
- IV
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\-1\\-1
\end{pmatrix},\
\vec g=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}
$$
とします．
- (1) $(\vec a,\vec b)=0$であることを示しましょう．
- (2) $||\vec g-x\vec a-y\vec b||^2$を最小にする$x,y$を求めましょう．
- [解答ビデオ]
- V
-
次の行列の積を計算しましょう．（計算の意味を考えてみましょう．）
\begin{equation*}
\left(
\begin{smallmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
-\sin\alpha&\cos\alpha
\end{smallmatrix}
\right)
\left(
\begin{smallmatrix}
\cos\beta&\sin\beta\\
\sin\beta&-\cos\beta
\end{smallmatrix}
\right)
\left(
\begin{smallmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{smallmatrix}
\right)
\end{equation*}