線形代数2021 SL04問題(2021年04月28日）

I

次の行列の逆行列を求めましょう．
(1) $A=\begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix} $ (2) $A=\begin{pmatrix} 1&-1\\1&1 \end{pmatrix} $ (3) $A=\begin{pmatrix} 1&0\\\lambda&1 \end{pmatrix} $ (4) $A=\begin{pmatrix} 1&\lambda\\0&1 \end{pmatrix} $

解答ビデオ

II

$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^n$とします．以下を計算しましょう。
(1) $(\vec a\ \vec b) \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$, (2) $(\vec a\ \vec b) \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$,
(3) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$, (4) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$, (5) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$,
(6) $(\vec a\ \vec b) \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$, (7) $(\vec a\ \vec b) \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$,
(8) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$, (9) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix}$, (10) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} \lambda&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$,
(11) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\lambda&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$, (12) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&\lambda \end{pmatrix}$,

III

以下の等式を満たす$2$次正方行列$X$を求めましょう．

(i) $ \begin{pmatrix} 1&2\\-2&1 \end{pmatrix} X= \begin{pmatrix} 3&4\\5&6 \end{pmatrix} $ (ii) $ X \begin{pmatrix} 3&4\\5&6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2\\-2&1 \end{pmatrix} $

IV

2次正方行列$A$, $B$が正則であるとします．このとき $AB$と$A^{-1}$が正則であることを示しましょう．

V

(1) $ A= \begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta \end{pmatrix} $ に対して$A^2$を求めましょう．

(2) (1) を用いて$A^{-1}$を求めましょう．

VI

$\vec a= \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\not=\vec 0 $ とします。$\vec w$を$\vec v\in\mathbf{R}^2$の$\vec a$方向の直交射影とします。このとき $$ \vec q=\vec v+2(\vec w-\vec v)=2\vec w-\vec v $$ に対して $$ \vec q=Q\vec v $$ を満たす行列$Q$を求めましょう。さらに $$ \vec a= \begin{pmatrix} \cos\theta\\\sin\theta \end{pmatrix} $$ のとき$Q$を求めましょう。

解答ビデオ