LA2021 WL02 2021/10/13
- I
- 演習5.1 （教科書 131p)
-
$V$と$W$を$\mathbf{R}^n$の部分空間とします．このとき
$V\cap W$と
$$
V+W:=\{\vec v+\vec w;\ \vec v\in V,\ \vec w\in W\}
$$
$$
V^\perp=\{\vec x\in\mathbf{R}^n;\ (\vec x,\vec v)=0\
%%%2010/02/21
(\mbox{すべての}\vec v\in V)\}
$$
が$\mathbf{R}^n$の部分空間であることを示しましょう
（$V^\perp$を$V$の直交補空間と呼びます）．
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- II 都合により欠番
- III
- 演習5.3 （教科書 134p）
-
$\vec x\in\mathbf{R}^n$が$\vec x\not=\vec 0$を満たすとします．
このとき$\vec x$が線型独立であることを示しましょう．
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- IV
- 演習5.4 （教科書 136p）
-
$\vec x_1,\cdots,\vec x_k\in\mathbf{R}^n$とします．
$P\in M_n(\mathbf{R})$が正則であるとき
$$
\vec x_1,\cdots,\vec x_k\mbox{が線型独立}
\Rightarrow
P\vec x_1,\cdots,P\vec x_k\mbox{が線型独立}
$$
を示しましょう．
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- V
- 演習5.5 （教科書136p）
-
$\vec x_1,\cdots,\vec x_k\in\mathbf{R}^n$が線型独立
であるとします．また$Q\in M_k(\mathbf{R})$が正則であると
します．
このとき
$$
(\vec x_1\ \cdots\ \vec x_k)Q=(\vec y_1\ \cdots\ \vec y_k)
$$
とすると
$\vec y_1,\cdots,\vec y_k\in\mathbf{R}^n$が
線型独立であることを示しましょう．
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- VI
- 演習5.6 （教科書136p）
-
\begin{equation*}
\vec x_1,\cdots,\vec x_k\in\mathbf{R}^n
\end{equation*}
が線型独立
であるとします．このとき
\begin{equation*}
\vec x_1,\vec x_1+\vec x_2,\cdots,\vec x_1+\vec x_2+\cdots+
\vec x_k\in\mathbf{R}^n
\end{equation*}
が線型独立であることを示しましょう．
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- VII
- 演習5.7 （教科書136p）
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&0&2\\
-1&3&1\\
2&-4&0
\end{pmatrix}
$
のとき
$
\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix}
\in\mathrm{Im}(A)$
であるための$a,b,c$に関する条件を求めましょう．
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- VIII
- 演習5.8 （教科書137p）
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
2&4&3\\
3&1&2\\
1&3&2
\end{pmatrix}
$
に対して$\vec v\in\mathrm{Im}(A)$となる条件を行列によって
$B\vec v=\vec 0$と表しましょう．
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- IX欠番
- X
- 演習3.2（教科書65p）
-
次の行列を行基本変形を用いて狭義の階段行列にしましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&2&-1&4\\
3&2&0&2\\
0&1&3&2\\
3&3&3&4
\end{pmatrix}
$
(2)
$\begin{pmatrix}
4&7&-14&10\\
2&3&-4&-4\\
1&1&1&6
\end{pmatrix}
$
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- XI
- 演習3.3（教科書66p）
-
(3.4)式，すなわち
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&2&3&4&0\\2&3&4&5&0\\3&5&5&7&0
\end{array}
\right)
\rightarrow\cdots\rightarrow
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&0&0&-1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&1&0
\end{array}
\right)
\end{equation*}
の行基本変形をしてみましょう．
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- XII
- 演習3.4（教科書67p）
-
(3.6)式すなわち
\begin{equation*}%\label{rowechelon020001b}
\begin{pmatrix}
3&2&-1&-2\\
0&2&2&-2\\
1&1&0&-1\\
4&5&1&-5
\end{pmatrix}
\rightarrow\cdots\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&0&-1&0\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0
\end{pmatrix}=B
\end{equation*}
の行基本変形をしましょう．また
(3.7)式において
$
\begin{pmatrix}
1\\-1\\1\\0
\end{pmatrix}
$
と
$
\begin{pmatrix}
0\\1\\0\\1
\end{pmatrix}
$
が平行でないことを示しましょう．
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- XIII
- 演習3.5（教科書67p）
-
以下の行列$A$に対して斉次方程式$A\vec x=\vec 0$を解きましょう．
(1)
$\begin{pmatrix}
1&2&0&1\\
2&1&1&3\\
3&3&1&4
\end{pmatrix}$
(2)
$
\begin{pmatrix}
1&-3&0&2\\
2&-6&2&2\\
4&-12&3&5
\end{pmatrix}
$
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- XIV
- 演習3.12（教科書79p）
-
次の行列の逆行列が存在すれば求めましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&1&2&1\\
2&3&4&1\\
3&3&3&1\\
1&2&3&1
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
2&-2&4\\
2&3&2\\
-1&1&-1
\end{pmatrix}
$
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- XV
- 演習3.13（教科書80p）
-
$\vec x,\ \vec y,\ \vec z,\ \vec a,\ \vec b,\ \vec c\in\mathbf{R}^n$
が関係式
$$
\left\{
\begin{array}{lcl}
\vec x-\vec y+2\vec z&=&\vec a \\
2\vec x+\vec y-\vec z&=&\vec b \\
3\vec x-2\vec y+ \vec z&=&\vec c
\end{array}
\right.
$$
満たしているとします．このとき$\vec x,\ \vec y,\ \vec z$
を$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$で表しましょう．これはある行列の
逆行列を計算して表しましょう．
-
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