「基底と座標」演習問題
- I
-
次の$\vec a, \vec b,\vec\alpha,\vec\beta\in\mathbf{R}^n$に対して
以下の(i),(ii),(iii),(iv)を示しましょう．
(i)$\vec a\nparallel\vec b$を示しましょう．
(ii)
$$
L=\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}
$$
を考えます．
$$
\vec\alpha,\vec\beta\in L
$$
を示しましょう．
(iii) $\vec\alpha\nparallel\vec\beta$を示しましょう．
(iv) $L$の基底$\vec a,\vec b$に関する座標
を$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$,
基底$\vec\alpha,\vec\beta$に関する座標
$\begin{pmatrix}\xi\\\eta\end{pmatrix}$
とするとき
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
を
$\begin{pmatrix}\xi\\\eta\end{pmatrix}$
で表しましょう．
-
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\-1\\4
\end{pmatrix}$,
$\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
2\\-6\\10
\end{pmatrix}$,
$\vec \beta=
\begin{pmatrix}
5\\5\\1
\end{pmatrix}$
- 解説ビデオ
- (2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\3\\-2\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
2\\5\\-2\\3
\end{pmatrix}$,
$\vec \beta=
\begin{pmatrix}
5\\8\\-5\\3
\end{pmatrix}$
- 解説ビデオ
- (3)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
4\\1\\-1\\2
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\3\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
6\\7\\1\\0
\end{pmatrix}$,
$\vec \beta=
\begin{pmatrix}
-1\\8\\4\\-5
\end{pmatrix}$
- 解説ビデオ
- II
-
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}$が定める2次元部分空間
$$
L=L(\vec a,\vec b)
=\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}
$$
に対して$\vec v\in\mathbf{R}^3$の$L$への直交射影$\vec w$を考えます．
$$
Q\vec v=\vec w
$$
を満たす$3$次正方行列を求めましょう．
- 解説ビデオ
- III
- 以下の
$\vec a, \vec b, \vec c\in\mathbf{R}^n$に対して
$\vec a, \vec b, \vec c$が張る部分空間
$$
L_3=L(\vec a,\vec b,\vec c)
=\{x\vec a+y\vec b+z\vec c;\ x,y,z\in\mathbf{R}\}
$$
の正規直交基底を求めましょう．
-
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\2\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(3)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
1\\0\\0\\0
\end{pmatrix}$
(4)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\2\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\1
\end{pmatrix}$
- 解説ビデオ (1),
(2),
(3),
(4)
- IV
-
$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^n$が張る部分空間
$$
L=L(\vec a,\vec b)
=\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}
$$
を考えます．
$$
\vec c,\vec d\in L,\lambda,\mu\in\mathbf{R}\quad
\Rightarrow\quad
\lambda\vec c+\mu\vec d\in L
$$
を示しましょう．
- 解説ビデオ
- V
- 以下のベクトルが線型独立か線型従属か行列の行基本変形を用いて判定しましょう．
- (i)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\-2\\1
\end{pmatrix}
$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}
$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
7\\-4\\1
\end{pmatrix}
$
- (ii)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-3
\end{pmatrix}
$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\-3\\2
\end{pmatrix}
$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
2\\-1\\5
\end{pmatrix}
$
- (iii)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\-3\\7
\end{pmatrix}
$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\0\\-6
\end{pmatrix}
$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
3\\-1\\-1
\end{pmatrix}
$,
$\vec d=
\begin{pmatrix}
2\\4\\-5
\end{pmatrix}
$
- (iv)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
2\\-3\\7
\end{pmatrix}
$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0
\end{pmatrix}
$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
3\\-1\\-4
\end{pmatrix}
$,
- (i)の解答ビデオ
- (ii)の解答ビデオ
- (iii)の解答ビデオ
- (iv)の解答ビデオ
- VI
-
$\vec a_1,\vec a_2\in\mathbf{R}^n$, $A=(\vec a_1\ \vec a_2)$とします。
このとき
$$
{}^tAA \mbox{が正則} \Leftrightarrow
\vec a_1\nparallel\vec a_2
$$
であることを示しましょう。
- 解答ビデオVI
- VII
- (1) $ax+by=0$を満たす$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\not=\vec 0$が存在することを示しましょう。
- (2) 連立1次方程式
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
a_1x+a_2y+a_3z&=&0\\
b_1x+b_2y+b_3z&=&0
\end{array}
\right.
$$
を満たす
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\not=\vec 0$が存在することを(1)を用いて示しましょう。
- ビデオ解説
- VIII
- $\vec p,\vec q\in\mathbf{R}^n$が
$$
\vec p\perp\vec q,\quad \vec p\not=\vec 0,\quad \vec q\not=\vec 0
$$
が成立するとき
$$
\vec p\nparallel\vec q
$$
が成立することを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- IX
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\1\\3
\end{pmatrix},\quad
\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\3\\3\\5
\end{pmatrix},\quad
\vec c=
\begin{pmatrix}
1\\4\\6\\9
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．さらに
$$
\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
3\\8\\7\\13
\end{pmatrix},\quad
\vec \beta=
\begin{pmatrix}
2\\7\\9\\14
\end{pmatrix},\quad
\vec \gamma=
\begin{pmatrix}
3\\9\\10\\17
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．
- (1)
$\vec a,\vec b,\vec c$が線型独立で
$$
\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma
\in L=L(\vec a,\vec b,\vec c)
$$
であることを示しましょう．
- (2)
$\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma$が線型独立で，
$L(\vec a,\vec b,\vec c)$の基底となることを示しましょう．
- (3)
$\vec a,\vec b,\vec c$が$L$で定める座標と
$\vec \alpha,\vec \beta,\vec \gamma$が$L$で定める座標を相互に表しましょう．
- 解答ビデオ
- X
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1\\3
\end{pmatrix},\quad
\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\3\\2\\2
\end{pmatrix},\quad
\vec c=
\begin{pmatrix}
2\\7\\3\\3
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．さらに
$$
\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
2\\5\\1\\5
\end{pmatrix},\quad
\vec \beta=
\begin{pmatrix}
1\\5\\4\\0
\end{pmatrix},\quad
\vec \gamma=
\begin{pmatrix}
2\\6\\0\\4
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．Iと同様の問題に答えましょう．
- 解答ビデオ
- XI
- 演習5.7 （教科書136p）
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&0&2\\
-1&3&1\\
2&-4&0
\end{pmatrix}
$
のとき
$
\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix}
\in\mathrm{Im}(A)$
であるための$a,b,c$に関する条件を求めましょう．
- 解説ビデオ,
解答PDF
- XII
- 演習5.8 （教科書137p）
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
2&4&3\\
3&1&2\\
1&3&2
\end{pmatrix}
$
に対して$\vec v\in\mathrm{Im}(A)$となる条件を行列によって
$B\vec v=\vec 0$と表しましょう．
- 解説ビデオ,
解答PDF
- XIII
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1\\3
\end{pmatrix},\quad
\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\3\\2\\2
\end{pmatrix},\quad
\vec c=
\begin{pmatrix}
2\\7\\3\\3
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．さらに
$$
\vec \alpha=
\begin{pmatrix}
2\\5\\1\\5
\end{pmatrix},\quad
\vec \beta=
\begin{pmatrix}
1\\5\\4\\0
\end{pmatrix},\quad
\vec \gamma=
\begin{pmatrix}
\mathbf{1}\\-1\\-2\\6
\end{pmatrix},\quad
$$
とします．
- (1)
$\vec a,\vec b,\vec c$が線型独立で
$$
\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma
\in L=L(\vec a,\vec b,\vec c)
$$
であることを示しましょう．
- (2)
$\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma$が線型独立で，
$L(\vec a,\vec b,\vec c)$の基底となることを示しましょう．
- (3)
$\vec a,\vec b,\vec c$が$L$で定める座標と
$\vec \alpha,\vec \beta,\vec \gamma$が$L$で定める座標を相互に表しましょう．
- 解説ビデオ
%ici
- XIV
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\3\\2\\1
\end{pmatrix},\quad
\vec b=
\begin{pmatrix}
-3\\-9\\4\\-13
\end{pmatrix},\quad
\vec c=
\begin{pmatrix}
1\\3\\0\\3
\end{pmatrix},\quad
\vec d=
\begin{pmatrix}
2\\6\\-2\\8
\end{pmatrix}
$$
とする．$L(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d)$の基底を一つ求めて，
$\dim L$を求めましょう．
- ビデオ解説
- XV
-
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{K}^n$は線型独立とする．このとき
以下のベクトルが$L(\vec a,\vec b,\vec c)$の基底となることを示しましょう．
- (1)
$\vec a,\vec a+\vec b,\vec a+\vec b+\vec c$
- (2)
$\vec b+\vec c,\vec c+\vec a,\vec a+\vec b$
- ビデオ解説
- XVI
-
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{K}^n$は線型独立とします．
- (1)
$$
\vec \alpha=\vec a+2\vec b+3\vec c,\ \vec\beta=\vec a+\vec b+\vec c,\
\vec\gamma=-\vec a+\vec b+2\vec c
$$
で定める$\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma$
が$L(\vec a,\vec c,\vec d)$の基底となることを示しましょう．
- (2)
$L=L(\vec a,\vec b,\vec c)$とするとき基底$\vec a,\vec b,\vec c$による
$L$の座標を
$
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
$
，
基底$\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma$による
$L$の座標を
$
\begin{pmatrix}
\xi\\\eta\\\zeta
\end{pmatrix}
$
とするとき，双方を他方で表しましょう．
- ビデオ解説
- XVII
-
狭義の階段行列
$$
A_0=
\begin{pmatrix}
0&1&\alpha&0&\beta&0\\
0&0&0&1&\gamma&0\\
0&0&0&0&0&1
\end{pmatrix}
$$
と$3$次の正則行列$P$があって，$PA_0$も狭義の階段行列になるとします．
このとき$PA_0=A_0$が成立することを示しましょう．
（狭義の階段行列を標準形とするときの一意性）
- ビデオ解説