数理科学基礎第2章，演習問題「複素数と多項式」(2019年04月19日）

I

$z,w\in\mathbf{C}$に対して $$ |zw|=|z|\cdot |w| $$ を示しましょう．

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II

(1) $a,b\in\mathbf{R}$が$a,b\geq 0$を満たすとします． $$ a+b=0\Leftrightarrow a=b=0 $$ を示しましょう．

(2) $a_1,\cdots,a_n\in\mathbf{R}$が $$ a_1,\cdots,a_n\geq 0 $$ を満たすとします． $$ a_1+\cdots+a_n=0\Leftrightarrow a_1=\cdots=a_n=0 $$ が成立することを示しましょう．

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III

(1) $z,w\in\mathbf{C}$に対して $$ \overline{z\pm w}=\overline z+\overline w,\quad \overline {zw}=\overline z\cdot \overline w $$ を示しましょう．

(2) $z\in\mathbf{C},\ z\not=0$のとき $$ \overline { \left( \frac 1z \right) }=\frac 1{\overline z} $$ を示しましょう．

(3) $z\in\mathbf{C}$であるとき $$ z\in\mathbf{R}\Leftrightarrow z=\overline z $$ を示しましょう．

(4) 実係数の多項式 $$ f(z)=a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0 $$ を考えます．すなわち上の式において $$ a_0,\cdots,a_n\in\mathbf{R} $$ とします．このとき$\alpha\in\mathbf{C}$に対して $$ f(\alpha)=0\Rightarrow f( \overline\alpha )=0 $$ を示しましょう．

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IV

$P_1(x),P_2(x)\in\mathbf{K}[x]$に対して $$ P_1(x)\cdot P_2(x)=0\Rightarrow P_1(x)=0\ \mbox{または}\ P_2(x)=0 $$ であることを示しましょう．

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V

$z,w\in\mathbf{C}$が$z,w\not=0$を満たしている とします． $$ z=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1),\quad w=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) $$ と極形式で表されるとき $$ zw=r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)) $$ $$ z^{-1}=r_1^{-1}(\cos(-\theta_1)+i\sin(-\theta_1)) $$ となることを示しましょう．

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VI

$$ z=\cos\theta+i\sin\theta\not=1 $$ であるとき $$ z^{\frac 12}=\cos\frac {\theta}2+i\sin \frac {\theta}2 $$ とします．このとき $$ 1+z+\cdots+z^n=\frac {z^{n+1}-1}{z-1} =\frac {z^{n+1}-1}{z^{\frac 12}(z^{\frac 12}-z^{-\frac 12})} $$ であることを用いて $$ \sum_{k=0}^n\cos k\theta,\quad \sum_{k=0}^n\sin k\theta $$ を求めましょう．

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VII

(1) $\alpha\not=\beta$, $\beta\not=\gamma$, $\alpha\not=\gamma$とします．こ のとき $$ g(x)=\frac {(x-\beta)(x-\gamma)}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)} $$ が $$ g(\alpha)=1,\quad g(\beta)=g(\gamma)=0 $$ を満たすことを示しましょう．

(2) (1)において$A,B,C\in \mathbf{C}$とします．$f$が$2$次 多項式で $$ f(\alpha)=A,\ f(\beta)=B,\ f(\gamma)=C $$ ならば $$ f(x)=A\frac {(x-\beta)(x-\gamma)}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)} + B\frac {(x-\alpha)(x-\gamma)}{(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)} + C\frac {(x-\alpha)(x-\beta)}{(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)} $$ となることを示しましょう．

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VIII

$a,b\in\mathbf{R}$とします． $$ f(x)=ax^4-2ax^3+(a+1)x^2-bx-b $$ において $$ f(\frac {1+i\sqrt 3}2)=0 $$ とします．

(1) $a,b$を求めましょう．

(2) $f$の他の根を求めましょう．

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IX

$$ f(x)=x^{2n}+x^n+1 $$ が$x^2+x+1$で割り切れるか調べましょう．

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X

$$ \alpha=\cos \frac {2\pi}n+i\sin \frac {2\pi}n $$ とします．

(1) $z^n-1=0$の解が $1,\alpha,\alpha^2,\cdots,\alpha^{n-1}$であることを示しましょう．

(2) $$ (1-\alpha)(1-\alpha^2)\cdots(1-\alpha^{n-1})=n $$ となることを示しましょう．

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XI

以下の多項式$f(x)$, $g(x)$の最大共通因子を最高次数の係数が$1$として求めましょう. \begin{equation*} f(x)=x^4-2x^3+5x^2-4x+3,\quad g(x)=4x^4-12x^3+15x^2-11x+3 \end{equation*}

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XII

$z^4=8(-1+i\sqrt 3)$を満たす$z\in \mathbf{C}$ をすべて求めましょう．

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