線型代数第20講、演習問題(2015年12月11日）

I

$A\in M_{m_1+m_2}(\mathbf{C})$は正規行列で $$ A= \left( \begin{array}{c|c} A_{11}&A_{12}\\ \hline O&A_{22} \end{array} \right) $$ とブロック分けできて$A_{11}\in M_{n_1}(\mathbf{C})$, $A_{22}\in M_{n_2}(\mathbf{C})$となっているとします。

(1) $A_{12}=O$が成立することを示しましょう。

（ヒント：$A_{11}$をunitary行列で三角化します）

(2) $A_{11}$と$A_{22}$が正規であることを示しましょう。

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II

$A\in M_n(\mathbf{C})$は正規とします。$\mathbf{C}^n$の部分空間$V$が$A$不変であるとします。すなわち $$ \vec v\in V\Rightarrow A\vec v\in V $$ が成立するとします。

(1)$V^\perp$が$A$不変となることを示しましょう。

(2)$V$が$A^*$不変となることを示しましょう。

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III

$A\in M_n(\mathbf{C})$とします。また$V$を$\mathbf{C}^n$の部分空間とします。このとき $$ V \text{が} A \text{不変} \Leftrightarrow V^\perp \text{が} A^* \text{不変} $$ であることを示しましょう。

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IV

$A\in M_n(\mathbf{R})$が対称とします。

(1) $F$を$n\times \ell$行列とするとき $$ B={}^tFAF $$ が対称であることを示しましょう。

(2)$A$が定める2次形式が非負定値とします。すなわち $$ (A\vec v,\vec v)\geq 0 $$ が成立するとします。このとき$B$が定める2次形式も非負定値となることを示しましょう。

(3)$A$が定める2次形式が正定値とします。また $$F=(\vec f_1\ \cdots \vec f_{\ell})$$ と列ベクトル表示をするとき$\vec f_1,\dots,\vec f_{\ell}$は1次独立とします。このとき$B$が定める2次形式も正定値となることを示しましょう。

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V

$A\in M_{m,n}(\mathbf{R})$とします。すなわち、実$m\times n$行列とします。このとき$\mathbf{R}^n$中で $$ \mathrm{ker}({}^tAA)=\mathrm{ker}(A) $$ が成立することを示しましょう。

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VI

$\vec p_1,\cdots,\vec p_\ell\in\mathbf{C}^n$が正規直交系とします。このとき$U\in M_\ell(\mathbf{C})$によって $$ Q=(\vec q_1\ \cdots\ \vec q_\ell) =(\vec p_1\ \cdots\ \vec p_\ell)U $$ を定めます。このとき $$ \vec q_1,\cdots, \vec q_\ell \text{が正規直交系} \Leftrightarrow U \text{はunitary} $$ であることを証明しましょう。

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VII

$A= \begin{pmatrix} 1&i&1\\ -i&1&i\\ 1&-i&1 \end{pmatrix} $ をunitary行列で対角化しましょう。

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