線型代数第20講、演習問題(2015年12月11日)
- I
- $A\in M_{m_1+m_2}(\mathbf{C})$は正規行列で
$$
A=
\left(
\begin{array}{c|c}
A_{11}&A_{12}\\
\hline
O&A_{22}
\end{array}
\right)
$$
とブロック分けできて$A_{11}\in M_{n_1}(\mathbf{C})$,
$A_{22}\in M_{n_2}(\mathbf{C})$となっているとします。
- (1) $A_{12}=O$が成立することを示しましょう。
- (ヒント:$A_{11}$をunitary行列で三角化します)
- (2) $A_{11}$と$A_{22}$が正規であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- $A\in M_n(\mathbf{C})$は正規とします。$\mathbf{C}^n$の部分空間$V$が$A$不変であるとします。すなわち
$$
\vec v\in V\Rightarrow A\vec v\in V
$$
が成立するとします。
- (1)$V^\perp$が$A$不変となることを示しましょう。
- (2)$V$が$A^*$不変となることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- $A\in M_n(\mathbf{C})$とします。また$V$を$\mathbf{C}^n$の部分空間とします。このとき
$$
V \text{が} A \text{不変} \Leftrightarrow
V^\perp \text{が} A^* \text{不変}
$$
であることを示しましょう。
- [解答PDF]
- IV
- $A\in M_n(\mathbf{R})$が対称とします。
- (1) $F$を$n\times \ell$行列とするとき
$$
B={}^tFAF
$$
が対称であることを示しましょう。
- (2)$A$が定める2次形式が非負定値とします。すなわち
$$
(A\vec v,\vec v)\geq 0
$$
が成立するとします。このとき$B$が定める2次形式も非負定値となることを示しましょう。
- (3)$A$が定める2次形式が正定値とします。また
$$F=(\vec f_1\ \cdots \vec f_{\ell})$$
と列ベクトル表示をするとき$\vec f_1,\dots,\vec f_{\ell}$は1次独立とします。このとき$B$が定める2次形式も正定値となることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- $A\in M_{m,n}(\mathbf{R})$とします。すなわち、実$m\times n$行列とします。このとき$\mathbf{R}^n$中で
$$
\mathrm{ker}({}^tAA)=\mathrm{ker}(A)
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- $\vec p_1,\cdots,\vec p_\ell\in\mathbf{C}^n$が正規直交系とします。このとき$U\in M_\ell(\mathbf{C})$によって
$$
Q=(\vec q_1\ \cdots\ \vec q_\ell)
=(\vec p_1\ \cdots\ \vec p_\ell)U
$$
を定めます。このとき
$$
\vec q_1,\cdots, \vec q_\ell \text{が正規直交系}
\Leftrightarrow U \text{はunitary}
$$
であることを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&i&1\\
-i&1&i\\
1&-i&1
\end{pmatrix}
$
をunitary行列で対角化しましょう。
- [解答PDF]